Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Géométrie – Produit scalaire dans $\mathbb{R}^n$
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Ce chapitre propose une extension modeste des notions de géométrie euclidienne à l’espace euclidien de dimension $n$, avec la notion de projection orthogonale sur un sous-espace et une application aux statistiques.
exo7 5790
Montrer que pour toute matrice carrée \(A\) réelle de format \(n\), on a ...
exo7 5791
Soit \(A\) une matrice orthogonale. Montrer que la valeur absolue de la somme des coefficients de ...
exo7 5792
On munit \(E =\mathcal{M}_3(\Rr)\) muni du produit scalaire usuel.
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5798
Soit \(A\) une matrice carrée réelle. Montrer que les matrices \({^t}AA\) et ...
exo7 5799
Montrer que le produit de deux matrices symétriques réelles positives est à valeurs propres réelles positives.
exo7 5800
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles symétriques positives. Montre ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par
exo7 5803
Soit \(P\) le plan de \(\Rr^4\) d’équations ...
exo7 5804
La matrice ...
exo7 5805
\(O_n(\Rr)\) est-il convexe ? \(O_n(\Rr)\) contient-il trois points alignés?
exo7 5813
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique définie positive. Montrer qu’il exis ...
exo7 5863
Pour \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\), on pose ...
exo7 6208
Montrer que pour tout \(x\in\Rr^n\), ...
exo7 6209
Sur \(M_n(\Rr)\) on note \(|A|=\sup_{||x||\leq1}||Ax||\) la norme opérateur de la ...
exo7 6368
Soit \(a>0\) et soit \(f: \Rr \times \Rr^n \to \Rr^n\) une application de clas ...
exo7 7262
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. On considère l ...
exo7 7263
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. Soient ...
exo7 7277
Comment construire, au compas seul, le symétrique d’un point par rapport à une droite? Comment construire à l ...
exo7 7442
On suppose que \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels de ...
exo7 7444
On considère \(\Rr^{4}\) muni de son produit scalaire usuel. Soit \(F\) le sous e ...
exo7 7446
Soit \(E\) l’espace vectoriel \(\Rr^3\) muni du produit scalaire canonique et de ...
exo7 7500
Dans l’espace vectoriel euclidien \(\Rr^3\) muni du produit scalaire standard et de la base canonique ...
exo7 7508
Soit \(\R^2\) le plan affine euclidien muni du produit scalaire standard et de la base canonique.
exo7 7517
Soit \((\R_{ev}^3, standard)\) l’espace euclidien standard muni de la base canonique.
Déterminer une base o ...
exo7 7810
Diagonaliser dans une base orthonormée pour le produit scalaire standard, la forme bilinéaire symétrique sur ...
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...