Programme de mathématiques BCPST, seconde année
c) Espérance et variance
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Espérance. Propriétés (linéarité, positivité, croissance). | La linéarité de l’espérance est admise. |
Théorème de transfert. | Ce résultat peut être admis. |
Généralisation des propriétés et des définitions vues en première année, en particulier : • Inégalité de Markov. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. • Variance et moments d’une variable aléatoire. • Écart-type $\sigma(X)$ d’une variable aléatoire $X$. • Formule de König-Huygens $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$. • Variance de $aX+b$. Notion de variable centrée réduite. | |
• Si $X$ est une variable aléatoire admettant une variance non nulle, $X^*=\dfrac{X-E(X)}{\sigma(X)}$ est une variable centrée réduite. | $X^*$ est appelée variable centrée réduite associée à $X$. |
• Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, espérance de $XY$ et variance de $X+Y$. | Résultat sur l’espérance admis. Généralisation au cas de $n$ variables aléatoires indépendantes. |
Approximation par inégalité
Soit \(X\) le nombre d’avions arrivant en une heure sur un aéroport. On suppose que ...
Assurance vie, loi du nombre de décès et bénéfice annuel
Une compagnie assure \(N=10\,000\) clients sur la vie, qui paient chacun une prime annuelle de ...
Estimation par inégalité
Une population de personnes doit voter à l’élection présidentielle. La proportion souhaitant voter pour la candidate Mme A. est inconnue, on la not ...
exo7 6917
Une urne contient 10 boules rouges et 5 boules blanches.
exo7 6927
On suppose que le nombre de pièces sortant d’une usine donnée en une journée est une variable aléatoire d’espérance ...
exo7 6928
Pour étudier les particules émises par une substance radioactive, on dispose d’un détecteur. On note \(X\) la vari ...
exo7 6946
Soit \(N\) et \((X_n)_{n\geq 1}\) des variables aléatoires indépendantes intégrab ...
Identification de lois usuelles
Pour chacune des situations suivantes, déterminer la loi de la variable aléatoire \(X\) et donner son espérance. ...
Lancers de dé
On lance \(720\) fois un dé équilibré.
Logistique d’un dépôt
Un dépôt de ravitaillement reçoit chaque jour un certain nombre de camions de livraison. Ce nombre est modélisé par une variable aléatoire d’espéra ...
Loi discrète, espérance, variance et probabilité conditionnelle
Une urne contient des jetons numérotés de \(1\) à \(5\). On tire un jeton au hasa ...
Loi exponentielle et loi géométrique
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètre ...
Loi jointe et indépendance d'un couple de variables aléatoires
Soit \((X, Y)\) un couple de variables aléatoires dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant :
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