Texte officiel du programme
Cette section a deux objectifs :
- étendre rapidement le programme d’analyse réelle de première année au cadre des fonctions vectorielles ;
- fournir des outils pour l’étude des équations différentielles linéaires et du calcul différentiel.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, à valeurs dans un espace normé de dimension finie $E$.
- a) Dérivabilité en un point 1
- b) Opérations sur les fonctions dérivables 0
- c) Intégration sur un segment 46
- d) Intégrale fonction de sa borne supérieure 22
- e) Formules de Taylor 37
exo7 1251
Établir pour tout \(x \in { \Rr}_+^*\) l’inégalité : ...
exo7 1268
Soit \(a\) un nombre réel et \(f : ] a , +\infty [ \rightarrow \Rr\) une applicat ...
exo7 1269
Soient \(a,b,c \in { \Zz}\) tels que : \(ae^2+be+c=0 .\)
exo7 1272
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 1275
Soit \(f :[a,b]\rightarrow { \Rr}\) une fonction intégrable.
exo7 1277
Soit \(f :[a,b]\rightarrow { \Rr}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que ...
exo7 1281
Montrer que \(\forall x>-1 \, \, \ln (1 + x)\leq x.\)
exo7 1492
Calculer : \[\inf\limits_{(a,b)\in {\Rr}^{2}}\int_{0}^{1}x^{2}\left| \ln x-ax-b\right|^{2}dx.\]
exo7 1824
Ecriver la formule de Taylor de second ordre pour chacune des fonctions suivantes au point \((x_0,y_0)\) donné. ...
exo7 1839
Soit \(f\) une fonction réelle de classe \({\cal C}^2\) sur un ouvert ...
exo7 1927
On pose \(I= \displaystyle{\int _\Rr e^\frac{-t^2}{2}dt }\) et ...
exo7 1928
On note \(D\) le domaine délimité par les droites \(x=0,\) ...
exo7 2073
Soient \(a,b\) des nombres tels que \(0<a<b\) et soit ...
exo7 2074
Soit le champ de vecteurs \({\vec{V}} : {\Rr^2} \to {\Rr^2}\), ...
exo7 2092
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables ...
exo7 2235
Soit \(a\in\Rr\) et ...
exo7 2316
Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([a,b]\subset\Rr\), à valeurs ...
exo7 2487
Soit \(C\) une courbe fermée du plan, et \(P\) et ...
exo7 2690
Soit \(f:[-a,a] \to \R\) une fonction de classe \(C^2\). Montrer que ...
exo7 3828
Soit \(\varphi : {\R^n} \to \R\) définie par ...
exo7 3936
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable. Montrer que \(|f|\) admet en tout point une dériv ...
exo7 3952
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\), ...
exo7 4003
Soit \(f\) continue et croissante sur \(\R^+\). On pose ...
exo7 4005
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que : ...
exo7 4007
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que ...
exo7 4008
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^5\), impaire, telle que ...
exo7 4009
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On note ...
exo7 4010
Soit \(f : {[-a,a]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Montrer que :
...
exo7 4011
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\). Pour ...
exo7 4013
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). On suppose : ...
exo7 4014
Soit \(f : {\R} \to {\R^+}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). On suppose ...
exo7 4015
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\) telle que ...
exo7 4016
Soit \(f : {]0,+\infty[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4078
Soit \(E = \{ \text{fcts : } [0,1] \to \R \text{ continues } \}\) et ...
exo7 4080
Soient \(u,v,w\) trois applications bornées et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4088
Soient \(f,g\) deux fonctions continues et \(a\in\R\) vérifiant : ...
exo7 4089
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4109
Soient \({f,g}: \R \to \R\) continues et \(k>0\), ...
exo7 4132
On définit une suite de fonctions sur \([0,1]\) de la manière suivante : \(f_0\) ...
exo7 4163
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^p\) et ...
exo7 4173
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^2\) contenant ...
exo7 4231
Montrer que : \(\forall\ x \ge 0,\ x-\frac{x^2}2 \le \ln(1+x) \le x\).
exo7 4233
Pour \(x \in \R,\ x \ne \pm1\), on pose ...
exo7 4243
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
exo7 4249
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue et ...
exo7 4250
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+p}\) telle que ...
exo7 4251
Soit \(f : {[0, a[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que ...
exo7 4254
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4257
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) continue. Montrer que ...
exo7 4261
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b])\), et ...