Programme de mathématiques MP, MPI
b) Intégrabilité sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Une fonction $f$ est dite intégrable sur $[a,+\infty[$ si elle est continue par morceaux sur $[a,+\infty[$ et si $\displaystyle\int_a^{+\infty}\lvert f\rvert$ converge. | On utilise indifféremment les expressions « $f$ est intégrable sur $[a,+\infty[$ » et « l’intégrale $\displaystyle\int_a^{+\infty}f$ converge absolument ». Pour $f$ de signe constant, $\displaystyle\int_a^{+\infty}f$ converge si et seulement si $f$ est intégrable sur $[a,+\infty[$. Un calcul montrant que $\displaystyle\int_I\lvert f\rvert<+\infty$ vaut preuve d’intégrabilité. |
Si $f$ est intégrable sur $[a,+\infty[$, alors $\displaystyle\int_a^{+\infty}f$ converge. | Fonction intégrable en $+\infty$. L’étude des intégrales semi-convergentes n’est pas un objectif du programme. |
Théorème de comparaison : pour $f$ et $g$ deux fonctions continues par morceaux sur $[a,+\infty[$, à valeurs dans $\mathbb{K}$ : – si $f(x)\underset{x\to+\infty}{=}O\big(g(x)\big)$, alors l’intégrabilité de $g$ sur $[a,+\infty[$ implique celle de $f$ ; – si $f(x)\underset{x\to+\infty}{\sim}g(x)$, alors l’intégrabilité de $g$ sur $[a,+\infty[$ équivaut à celle de $f$. | Le résultat s’applique en particulier si $f(x)\underset{x\to+\infty}{=}o(g(x))$. |
exo7 4362
On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).
exo7 4364
Existence et continuité de ...
exo7 4365
Développer, pour tout \(x>0\), ...
exo7 4368
Soit \(\alpha>0\).
exo7 4375
Soit \(f\) continue par morceaux définie sur \(\R\), à valeurs dans ...
exo7 4506
Déterminer la limite simple des fonctions \(f_n : x \mapsto \frac{x^ne^{-x}}{n!}\) sur ...
exo7 4539
Montrer, pour \(x > 0\) : ...
exo7 4657
Soit \(f : \R \to \C\) de classe \(\mathcal{C}^1\). On suppose qu’il existe ...
exo7 4667
Soit \(f\) à valeurs réelles, de classe \(\mathcal{C}^{2}\), ...
exo7 5713
Etudier l’existence des intégrales suivantes
| 1) (** ... |
exo7 5714
Etudier l’existence des intégrales suivantes.
| 1) (* ... |
exo7 5715
(Hors programme) Etudier la convergence des intégrales impropres suivantes :
exo7 5716
Existence et calcul de :
| 1) (** I) ... |
exo7 5718
En utilisant un développement de \(\frac{1}{1-t}\), calculer ...
exo7 5719
Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{t-1}{\ln t}\;dt\) (en écrivant ...
exo7 5720
1) (** I) Trouver un équivalent simple quand \(x\) tend vers ...
exo7 5722
(Hors programme) Convergence et calcul de \(\int_{1}^{+\infty}\frac{(-1)^{E(x)}}{x}\;dx\).
exo7 5723
Soit \(f\) définie, continue, positive et décroissante sur \([1,+\infty[\), intég ...
exo7 5725
Soit \(f\) de classe \(C^2\) sur \(\Rr\) à valeu ...
exo7 5727
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 5736
Pour \(x>0\), on pose \(f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}\). Trouver un ...
exo7 5737
Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...
exo7 5738
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 5740
Montrer que ...
exo7 5741
Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.
exo7 5742
Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}\;dx\) et ...
exo7 5762
Développer en série entière \(F(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\sin(tx)\;dt\) et en déduire que pour tout réel ...
exo7 5768
Existence et calcul de \(\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt\) (on admettra que ...
exo7 5769
Existence et calcul de \(\int_{0}^{1}\frac{t-1}{\ln t}t^x\;dt\).
exo7 5925
Le but de cette question est de montrer que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt\) n’est pas absolument ...
exo7 5947
On rappelle qu’une fonction \(f~:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\) est dite intégrable si ...
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.