Programme de mathématiques MP, MPI
Topologie des espaces vectoriels normés
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- introduire, dans le cadre des espaces vectoriels normés, le vocabulaire de la topologie ;
- donner, à travers l’étude des espaces vectoriels normés de dimension finie, un cadre commode pour traiter diverses applications à l’analyse (fonctions vectorielles, équations différentielles linéaires) ;
- introduire la notion de partie compacte dans un espace vectoriel normé, en soulignant le rôle qu’elle joue dans les résultats d’existence, notamment en matière d’optimisation ;
- introduire la notion de composante connexe par arcs d’un espace vectoriel normé, qui permet de généraliser le théorème des valeurs intermédiaires et intervient en calcul différentiel ;
- dégager l’idée fondamentale d’inégalité linéaire, qui apparaît lors de l’étude de la comparaison des normes et de la continuité des applications linéaires, et qui est quantifiée par la notion de norme d’opérateur.
Les notions seront illustrées par des exemples variés. On pourra ainsi travailler dans les espaces $\mathbb{K}^n$, les espaces de polynômes, d’applications linéaires ou de matrices, ainsi que dans divers espaces fonctionnels.
Il convient de souligner le contenu géométrique des notions abordées, notamment à l’aide de nombreuses figures. Lors de l’étude de la connexité par arcs, un dessin pertinent peut valoir preuve.
Les notions d’espace métrique et, a fortiori, d’espace topologique, sont hors programme. Il en est de même des notions de suite de Cauchy et d’espace de Banach.
Dans toute cette section, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Normes et espaces vectoriels normés 110
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 76
- c) Comparaison des normes 32
- d) Topologie d’un espace normé 111
- e) Étude locale d’une application, continuité 131
- f) Applications linéaires et multilinéaires continues 76
- g) Parties compactes d’un espace normé 41
- h) Applications continues sur une partie compacte 28
- i) Connexité par arcs 9
- j) Espaces vectoriels normés de dimension finie 45
exo7 2357
Montrer que \(f\) est continue si et seulement si ...
exo7 2359
Soit \(f\) une fonction continue de \(]0,1[\) dans ...
exo7 2361
Soient \(E_1, E_2\) et \(F\) des espaces normés sur ...
exo7 2362
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés et ...
exo7 2363
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2364
Calculer la norme des opérateurs suivants:
exo7 2365
Soit \(X = \Rr[x]\) l’ensemble des polynômes. Pour ...
exo7 2366
Soit \(l^\infty\) l’espace des suites réelles muni avec la norme uniforme, i.e. ...
exo7 2367
Soit \(X\) un espace normé, \(L:X\to \Rr\) une form ...
exo7 2368
Soit \(X={\cal C}([0,1])\) avec la norme \(\| f\| = \int _0^ 1 |f(t)|\, dt\). Mon ...
exo7 2369
Soit \(X = \{f\in {\cal C}(\Rr ) \; ; \; (1+x^ 2 ) |f(x)| \text{ soit bornée}\}\). On pose ...
exo7 2371
Montrer qu’une suite convergente et sa limite forment un ensemble compact.
exo7 2372
Soient \(K,F\subset \Rr^n\) des parties non vides, \(K\) compact et ...
exo7 2376
Soit \(E\) un espace normé. Si \(A\) et \(B\) so ...
exo7 2377
Soit \(f:\Rr^n \to \Rr^n\) une application continue. Elle est dite propre si pour tout compa ...
exo7 2378
Soit \(E =\{ f:[0,1] \rightarrow \Rr \;\; \text{continue} \}\). On munit \(E\) de ...
exo7 2394
On sait que \(l^1\) est inclus dans \(l^2\) (au fait pourquoi ?) mais n’est pas f ...
exo7 2406
Soit \(X = ({\cal C}^1([0,1]),N)\) avec \(N(f) = \|f\|_\infty+\|f'\|_\infty\) ...
exo7 2426
On considère l’espace vectoriel \(\R^n\) (\(n \ge 2\)), et ...
exo7 2460
Identité du parallélogramme
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vecto ...
exo7 2494
Montrez que \(d(x,y)=|x-y|\) est bien une distance sur l’ensemble des réels.
exo7 2495
Décrire la boule de centre l’origine et de rayon \(1\) dans les espaces suivants:
exo7 2498
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2499
Soient \(||.||_1\) et \(||.||_2\) deux normes sur ...
exo7 2501
Calculez la norme des opérateurs suivants:
exo7 2502
Soit \(X={\mathcal C}([0,1])\) avec la norme \(||f||=\int_0^1 |f(t)|dt\). Montrez ...
exo7 2512
Soit \(X= {\cal C} ([0,1])\) muni de la norme uniforme et soit \(f\) une applicat ...
exo7 2514
Que peut-on dire de la différentiabilité de l’application \(f:\Rr^2 \to \Rr\) définie par ...
exo7 2515
Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr\) l’application ...
exo7 2522
Soit \(f\) une application différentiable de \(]a,b[\subset\Rr\) dans ...
exo7 2617
Déterminer si chacune des parties suivantes du plan sont ouvertes ou fermées, ou ni l’un ni l’autre. Déterminer chaque fois l’intérieur et l’adhére ...
exo7 2618
Soient \(B_1\subset \R^n\) et \(B_2\subset \R^m\) des boules ouvertes. Montrer qu ...
exo7 2619
Soit \((A_n)\) (\(n\in\N\)) une suite de parties ouvertes de ...
exo7 2620
Soit \(A=\{(t,\sin\frac1t)\in\R^2 ; t>0 \}\). Montrer que \(A\) n’est ni ouver ...
exo7 2621
Pour chacune des suites \((u_n)_n\) dans le plan \(\R^2\) ci-dessous, placer quel ...
exo7 2647
Soit \(D\) un sous-ensemble de \(\R^n\).
exo7 2649
On considère une suite \((u_n)_n\), de terme général \(u_n\in\R^2\).
exo7 2671
Sur l’espace \(\R^n\), définir une distance \(d\), telle que ...
exo7 2721
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 \in ]0,1[\) donné et ...
exo7 3061
Soit \(f : \R \to \R\) un morphisme de corps.
exo7 3389
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) avec : ...
exo7 3623
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((u_n)\) une suite d’endomorphismes diago ...
exo7 3663
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien. On pose pour \(\vec x \ne \vec 0\) : ...
exo7 3664
Soit \(E\) un espace euclidien.
exo7 3668
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(p \in \mathcal{L}(E)\) une projecti ...
exo7 3675
Soient \(E\) espace vectoriel euclidien, \(\vec a \in E\) et ...
exo7 3742
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3758
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3759
Soit \(f : {\R^n} \to {\R^n}, {(x_1,\dots,x_n)} \mapsto {(x_1-x_n,x_2-x_1,\dots,x_n-x_{n-1}).}\) Avec la structure ...
exo7 3760
\({\cal O}_n(\Q)\) est-il dense dans \({\cal O}_n(\R)\) ?