Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
a) Sommes et produits
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Somme et produit d’une famille finie de nombres réels. | Notations $\displaystyle\sum_{i\in I} a_i$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i$, $\displaystyle\prod_{i\in I} a_i$, $\displaystyle\prod_{i=1}^{n} a_i$. Cas où $I$ est vide. |
Sommes et produits télescopiques, exemples de changements d’indices et de regroupements de termes. Expressions simplifiées de $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} x^k$. Factorisation de $a^n - b^n$ par $a - b$. | Dans la pratique, on est libre de présenter les calculs avec des points de suspension. |
Sommes doubles. Produit de deux sommes finies. | Exemples de sommes triangulaires. |
Rappels sur la factorielle, les coefficients binomiaux. | Convention $\dbinom{n}{k} = 0$ pour $k < 0$ et $k > n$. |
Formule du binôme dans $\mathbb{R}$. |
Des calculs
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Calculer les sommes suivantes :
...
Des factorisations sympathiques
Soient \(x\) et \(y\) deux réels.
Des produits
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Calculer les produits suivants : ...
Des sommes combinatoires plus difficiles
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Calculer les sommes suivantes : ...
Des sommes doubles
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Déterminer les sommes suivantes :
Des sommes plus compliquées
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Calculer les sommes suivantes : ...
exo7 1463
Soit \(E = \Rr_{n}[X]\). Montrer que ...
exo7 1465
Soient \(a_{1}, \ldots, a_{n},b_{1}, \ldots, b_{n}, c_{1}, \ldots, c_{n}\) des
réels positifs.
Montrer que ...
exo7 153
Montrer :
exo7 156
Dans le plan, on considère trois droites \(\Delta_{1},\Delta_{2},\Delta_{3}\) formant un “vrai” triangle : elles n ...
exo7 158
Montrer que \[\forall n\geq 2,n!\leq \left( \frac{n+1}{2}\right) ^{n}.\]
exo7 159
Pour tout entier naturel \(n\), on pose ...
exo7 170
Démontrer par récurrence: \[\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\]
exo7 171
Montrer que pour tout entier \(n\geq 1\): ...
exo7 174
Soit \(n\in\mathbb{N}\); montrer que pour tout entier \(k\geq 1\) on a ...
exo7 175
Montrer par récurrence que pour tout entier \(n\in\mathbb{N}\), ...
exo7 178
Pour \(n \in \mathbb{N},\) \(n \geq 2,\) trouver une loi simplifiant le produit : ...
exo7 181
Montrer que : \[\forall n\geq 2,u_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\notin \Nn.\] Indication : montrer ...
exo7 183
Pour \(p \in \left\{ 1, 2, 3\right\}\) on note ...
exo7 184
Pour calculer des sommes portant sur deux indices, on a intérêt à représenter la zone du plan couverte par ces indices et à sommer en ...
exo7 1938
Calculer les sommes des séries suivantes, en montrant leur convergence :
exo7 20
Soit \(z\) un nombre complexe de module \(\rho\), d’argument ...
exo7 21
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels. Mettre le nombre complexe ...
exo7 220
En utilisant la fonction \(x\mapsto(1+x)^n\), calculer : ...
exo7 221
Démontrer que \(C_n^kC_{n-k}^{p-k}=C_p^kC_n^p\) (pour \(0\le k \le p \le n\)). En ...
exo7 222
En utilisant la formule du binôme, démontrer que :
exo7 223
Démontrer que \(C_n^p=C_{n-1}^p+C_{n-1}^{p-1}\) pour \(1\le p \le n-1\).
exo7 224
Montrer que, pour \(p\) et \(n\) entiers naturels non nuls tels que ...
exo7 225
Montrer que: \[\sum_{k=0}^{p} C_n^kC_{n-k}^{p-k}= 2^pC_n^p ,\] où \(p\) et ...
exo7 226
Soient \(n\), \(p\) et \(q\) des entiers naturel ...
exo7 227
Soient \(m,n\in\Nn^*\) et \(p\in\Nn\). En utilisant la formule du binôme, démontr ...
exo7 228
En utilisant la formule du binôme montrer : ...
exo7 230
Démontrer les formules suivantes :
exo7 233
En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que \(\sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k C_n^k = 0\). En déduire la ...
exo7 234
Soient \(0 \leq p \leq n\).
exo7 244
Montrer par récurrence sur \(n\) que si ...
exo7 259
On considère le nombre \(m = 2^np\), dans lequel \(n\) désigne un entier naturel ...
exo7 270
Pour tout couple de nombres réels \((x,y)\) montrer, par récurrence, que pour tout ...
exo7 2876
Établir la convergence et évaluer les produits infinis suivants: ...
exo7 2878
Montrer que \(\prod_{k=1}^\infty (1 + \frac ik)\) diverge tandis que ...
exo7 2900
Calculer \(\sum_{k=0}^n\, kC_n^k\) et \(\sum_{k=0}^n \frac{C_n^k}{k+1}\).
exo7 2901
Soient \(n,p \in \N^*\) avec \(n \ge p\).
exo7 2902
Soient \(n,p \in \N^*\). Simplifier \(\sum_{k=0}^p\,(-1)^kC_n^k\).
exo7 2903
Soit \(E\) un ensemble fini de cardinal \(n\). Calculer ...
exo7 2904
Soit \(n \in \N\). Calculer \(\displaystyle\sum_{i+j=n}ij\) et ...
exo7 2906
Soient \(n,p \in \N\). Montrer que \(\sum_{k=0}^n C_{p+k}^p = C_{p+n+1}^{p+1}\). ...
exo7 2907
Soit \(n \in \N\) fixé. Déterminer pour quelle valeur de ...
exo7 2908
Soit \(p \in \N^*\), et \(n = 2^p\).
exo7 2909
Soient \(a,b,c \in \N\). Démontrer que ...
exo7 2910
Soit \((x_n)\) une suite de réels. On pose ...