Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
a) Produit scalaire
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Produit scalaire. Espace préhilbertien, espace euclidien. | Notations $\langle x, y\rangle$, $(x \mid y)$, $x \cdot y$. |
Produit scalaire canonique sur $\mathbb{R}^n$, sur $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{R})$. | Expressions $X^\top Y$, $\operatorname{tr}(A^\top B)$. |
Produit scalaire $\langle f, g\rangle = \displaystyle\int_a^b fg$ sur $\mathscr{C}\big([a, b], \mathbb{R}\big)$. | Exemples de produits scalaires intégraux sur $\mathbb{R}[X]$ et $\mathscr{C}\big([a, b], \mathbb{R}\big)$. |
exo7 3683
Soit \(E = \R_n[X]\) et \((P\mid Q) = \int_{t=0}^1 P(t)Q(t)\,d t\).
exo7 3686
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(\vec u_1,\dots,\vec u_n\) une famil ...
exo7 3687
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1])\) muni du produit scalaire : ...
exo7 3690
Soit \(E=\mathcal{C}^1([0,1],\R)\) et ...
exo7 3691
Soit \(H\) un espace euclidien, \((y_j)_{j\in I}\) une famille de vecteurs de ...
exo7 3693
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n>1\). Trouver toutes les foncti ...
exo7 3694
Soient \(\vec u,\vec v,\vec w,\vec t\) quatre vecteurs d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Dém ...
exo7 3696
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
Trouver ...
exo7 3699
Soient \(\vec u,\vec v,\vec w\) trois vecteurs d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
On d ...
exo7 3700
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Trouver les applications ...
exo7 3714
La matrice \(A = \begin{pmatrix}4&1&1\cr1&4&1\cr1&1&4\cr\end{pmatrix}\) est-elle une matri ...
exo7 3733
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3739
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3746
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3751
\(E = \mathcal{M}_n(\R)\) muni du produit scalaire : ...
exo7 3765
Soit \(u : E \to E\) telle que : ...
exo7 3801
On note \(P\) l’ensemble des fonctions \(f\) polynomiales par morceaux, continues ...
exo7 3824
Soit \(E\) l’ensemble des suites \((u_n)_{n\in\N}\) à termes réels telles que la ...
exo7 3826
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et \(B\) une boule ouverte de ...
exo7 3829
Soit \((P_n)_{n\in \N}\) une suite de polynômes de degrés étagés ( ...
exo7 3837
Soit \(D\) le disque unité fermé de \(\R^2\). On considère l’espace ...
exo7 3838
Soit \(E\) un espace euclidien, \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base de ...
exo7 3841
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \(u : {[a,b]} \to \R\) une fonction continu ...
exo7 3842
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \((a_n)\) une suite d’éléments de ...
exo7 4104
Soit \(I=[a,b]\subset \R\). On suppose que la fonction \(\Delta\) est strictement ...
exo7 4964
Dans un rond on donne les droites \(D : \begin{cases}x +2y - z = 1 \cr 2x - y +2z = 2 \cr\end{cases}\) ...
exo7 5482
Pour \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), ...
exo7 5493
Montrer que \(u\wedge v|w\wedge s=(u|w)(v|s)-(u|s)(v|w)\) et ...
exo7 5495
Soit \((e_1,...,e_n)\) une base quelconque de \(E\) euclidien. Soient ...
exo7 5496
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\geq1\). Une famille de ...
exo7 5500
Sur \(E=\Rr_n[X]\), on pose \(P|Q=\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\;dt\).
exo7 5574
Calculer pour \(p\) et \(q\) entiers naturels donnés les intégrales suivantes : ...
exo7 5772
Soit \(E =\Rr[X]\). On munit \(E\) du produit scalaire ...
exo7 5773
Soit \(E=\Rr[X]\). Pour \((P,Q)\in E^2\), on pose ...
exo7 5774
Soit \(E=\Rr[X]\). Pour \((P,Q)\in E^2\), on pose ...
exo7 5775
On note \(E\) l’ensemble des suites réelles de carrés sommables c’est-dire les suites réelles ...
exo7 5776
Soit \(\Phi\) l’application qui à deux matrices carrées réelles \(A\) et ...
exo7 5777
Soit \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel muni d’une norme, notée ...
exo7 5779
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\), non nulle à valeurs réelles posit ...
exo7 5788
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) non nulle. Soit ...
exo7 5899
Déterminer la différentielle en tout point de ...
exo7 6208
Montrer que pour tout \(x\in\Rr^n\), ...
exo7 6209
Sur \(M_n(\Rr)\) on note \(|A|=\sup_{||x||\leq1}||Ax||\) la norme opérateur de la ...
exo7 6368
Soit \(a>0\) et soit \(f: \Rr \times \Rr^n \to \Rr^n\) une application de clas ...
exo7 7144
Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(P\) un point du plan. On considère une droite ...
exo7 7249
Soient \(P\), \(Q\), \(R\) trois points du plan. ...
exo7 7262
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. On considère l ...
exo7 7263
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. Soient ...
exo7 7264
Soit \(E\) un plan euclidien orienté muni d’un repère orthonormé direct ...
exo7 7284
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle de centre \(O\) et de rayon ...