Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Fonctions de deux variables
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Le but de cette section, dont le contenu sera entièrement repris dans un cadre plus général en seconde année, est de familiariser les étudiants avec les calculs sur les dérivées partielles, notamment avec la « règle de la chaîne », et de développer une vision géométrique des fonctions de deux variables. Le point de vue est donc essentiellement pratique. Toute extension et tout développement théorique supplémentaire sont hors programme.
- a) Ouverts de $\mathbb{R}^2$, fonctions continues 75
- b) Dérivées partielles 225
- c) Dérivées partielles et composées 80
- d) Extremums 74
exo7 4147
Soit \(f(x,y) = \frac{x^3y}{x^2+y^2}\) si \((x,y)\ne 0\) et ...
exo7 4148
Trouver \({f_k} : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^k\) telle que les ...
exo7 4150
Soit \(\varphi : {\R^2} \to {\R^2}\) une application affine.
exo7 4151
Soient \({f,g} : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\). Calculer ...
exo7 4152
Déterminer les fonctions \(f : {D \subset {\R^2}} \to \R\) vérifiant :
exo7 4156
Déterminer les fonctions \(f : {\R^{+*}\times \R^{+*}} \to \R\) vérifiant : ...
exo7 4157
Trouver les fonctions polynomiales \(f : {\R^2} \to \R\) vérifiant : ...
exo7 4158
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Démontrer que : ...
exo7 4161
On pose \(f(x,y) = (x+y,xy) = (u,v)\). Montrer que \(f\) induit un ...
exo7 4163
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^p\) et ...
exo7 4164
On considère la courbe d’équation \(e^{x-y} = 1+2x+y\). Donner la tangente à cette courbe et la position par rappo ...
exo7 4165
Montrer que l’équation : \(x^3+y^3-3xy=1\) définit au voisinage de \(0\) une fonc ...
exo7 4166
Montrer que l’égalité \(2e^{x+y} + y - x = 0\) définit \(y = \varphi(x)\) au vois ...
exo7 4167
Soit \(f(x,y) = x\ln x - y\ln y\) \((x,y > 0)\).
Pour ...
exo7 4168
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\).
exo7 4169
Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow x^5 + \lambda x^3 + \mu x^2 -1 = 0\). Montrer qu’il existe un voisinage, ...
exo7 4170
On considère la fonction de \(\R^2\) sur lui-même définie par \(f(x,y)=(u,v)\), o ...
exo7 4171
Soit \(f : {U \subset \R^n} \to {\R^p}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) dont les dér ...
exo7 4173
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^2\) contenant ...
exo7 4174
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^n\) et ...
exo7 4178
Pour chacune des trois normes classiques sur \(\R^2\) dire en quels points elles sont différentiables.
exo7 4180
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4181
Soit \(U\) un ouvert de \(\R^2\).
exo7 4182
On pose pour \((x,y)\in\R^2\) : ...
exo7 4183
On pose : ...
exo7 4184
Soit \({f} : {\R^n} \to {\R^n}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4185
Soit \(\Omega\) un ouvert borné de \(\R^2\) et ...
exo7 4186
Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur le disque unité du plan, ...
exo7 4191
Chercher les extrémums des fonctions \(f(x,y)\) suivantes :
exo7 4192
Soit \(A \in \R^p\) fixé et \(f : {\R^p} \to \R, M \mapsto {AM^2}\) ...
exo7 4193
Soit \(ABC\) un triangle de cotés \(a,b,c\).
exo7 4194
On considère un vrai triangle \(ABC\) et \(f\) la fonction définie par : ...
exo7 4195
Soient dans \(\R^2\) : \(A=(0,a)\), \(B=(b,-c)\) ...
exo7 4197
\(D_1\), \(D_2\), \(D_3\) sont trois droites d’u ...
exo7 4200
Soit \(B\) la boule unité de \(\R^{n}\), ...
exo7 4201
Résoudre l’équation \(2\frac{\partial f}{\partial x} + 3\frac{\partial f}{\partial y} = 4f\) avec la con ...
exo7 4202
Déterminer les applications \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de ...
exo7 4203
Résoudre sur \((\R^{+*})^2\) : ...
exo7 4204
Soit \(U\) l’ouvert de \({\R^2}\) : ...
exo7 4205
Résoudre sur \({\R^2} \setminus \{(0,0)\}\) : ...
exo7 4206
Soit \(f : U \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant : ...
exo7 4207
Résoudre l’équation aux dérivées partielles suivante : ...
exo7 4208
Soit \(\Omega = \{ (x,y) \in {\R^2} \text{ tq } (x,y) \ne (0,0) \}\), et ...
exo7 4209
Résoudre l’équation : ...
exo7 4210
Soient \(a,b,c \in \R\) non tous nuls. On considère l’équation aux dérivées partielles : ...
exo7 4211
Trouver les applications \(f : {(\R^{+*})^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) ...
exo7 4212
Soit \(g : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4213
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On pose ...
exo7 4214
On considère l’équation aux dérivées partielles sur \(\Omega = (\R^{+*})^2\) : ...
exo7 4215
Soit \(f : {]-1,1[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On considère ...