Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes
Rechercher dans cette partie du programme- a) Généralités sur les fonctions 118
- b) Dérivation 163
- c) Fonctions usuelles 158
- d) Dérivation d’une fonction complexe d’une variable réelle 7
exo7 701
Calculer la fonction dérivée d’ordre \(n\) des fonctions \(f,g,h\) définies par : ...
exo7 7032
Soient \(a, b, c\) trois réels et \(f : \R\to \R, \: x\mapsto ae^x+bx+c\). On sup ...
exo7 704
Etudier la dérivabilité sur \(\mathbb{R}\) des applications suivantes : ...
exo7 705
Calculer les dérivées des fonctions :
exo7 706
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\).
exo7 710
Soient \(a\) et \(b\) deux réels et ...
exo7 712
Calculer la dérivée de \(x\rightarrow \ln \cos (\pi +\frac{x^{2}-1}{ x^{2}+1}).\)
exo7 714
En quels points la fonction \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) définie par : ...
exo7 715
Montrer que le polynôme \(P_n\) défini par ...
exo7 716
Etudier la fonction \(f: x\mapsto x^5-5x+1\) sur \(\mathbb{R}\) et en déduire que ...
exo7 7179
Résoudre sur \(\R\) l’équation \[2^x + x^2 = 2-\frac{1}{2^x}.\]
exo7 724
Soient \(x\) et \(y\) réels avec \(0<x<y\) ...
exo7 727
Montrer que pour tout \(x \in \Rr\), ...
exo7 728
Soit \(f: \Rr \longrightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = (1-k)^3x^2+(1+k)x^3\) où ...
exo7 730
Calculer \[\lim_{x\rightarrow 0}\ \ \frac{\cos (x^4)-1}{x^4e^x} ;\]
...
exo7 731
Soit \(f \in C^2 (\Rr)\) telle que ...
exo7 734
Quel est le lieu des points d’inflexion (puis des extrémums locaux) de \(f_{\lambda }\) quand ...
exo7 735
Trouver les fonctions \(f:{\Rr\rightarrow \Rr}\) dérivables en \(0\) telles que : ...
exo7 739
Soit \(n \geq 2\) un entier fixé et ...
exo7 741
Écrire sous la forme \(\frac{m}{n}\pi\) avec \(m\in \Z\), ...
exo7 742
Résoudre les équations suivantes :
exo7 743
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation: ...
exo7 744
Soient les fonctions \(f:x\mapsto\arcsin(\sin x)\) et ...
exo7 745
Une statue de hauteur \(s\) est placée sur un piédestal de hauteur \(p\).
exo7 746
Démontrer les inégalités suivantes : \[\Arcsin a < \frac{a}{\sqrt{1-a^2}} \quad \text{ si } 0<a<1 ;\] ...
exo7 747
Écrire sous forme d’expression algébrique
exo7 748
Tracer les courbes représentatives des fonctions ...
exo7 749
Résoudre les équations suivantes:
exo7 750
Calculer \[\Arctan \frac{1}{2}+\Arctan \frac{1}{5}+\Arctan \frac{1}{8}.\]
exo7 751
Simplifier les expressions suivantes : ...
exo7 752
Vérifier ...
exo7 753
Montrer que \(\dfrac{\pi}4 = 4\arctan (\dfrac 15) - \arctan (\dfrac 1{239})\) (on montrera que ...
exo7 755
Étudier la fonction : \[\phi :x\rightarrow \arcsin \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}+\arccos \frac{2x}{1+x^{2}}.\]
exo7 7568
On définit les nombres de Bernouilli comme les nombres complexes \(B_n\) tels que sur le domaine de convergence ...
exo7 757
Soit \(f:\Rr^{2}\rightarrow \Rr^{2}\) définie par: ...
exo7 758
Montrer qu’il n’existe pas de fonction \(f:[1;+\infty [\rightarrow \Rr\) vérifiant: ...
exo7 759
Calculer : ...
exo7 7607
On paramètre le cercle \(C_r\) privé du point \({-r}\) de centre ...
exo7 761
Calculer pour \((n,a,b)\in \Nn^{*}\times \Rr^{2}\) : ...
exo7 762
Soit \((a,b)\in\R^2\), résoudre le système ...
exo7 764
Soit \(x\in\R\). On pose \(t=\Arctan(\sh x)\).
exo7 765
Montrer que \(\ch nx\) et \(\sh nx\) peuvent s’exprimer comme polynômes en ...
exo7 766
Exprimer \(\ch^n x\) et \(\sh^n x\) au moyen de ...
exo7 767
Calculer les sommes ...
exo7 771
Résoudre \[x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x}^{x} ;\] ...
exo7 772
Préciser les comportements
de \(\displaystyle{x\mapsto \frac{x^2-e^x}{x-e}}\) quand ...
exo7 773
Démontrer les inégalités : ...
exo7 774
Déterminer \(\lim\limits_{ + \infty} (x-\ln (\text{ch}x))\).
exo7 775
Montrer que \(\forall x \in \Rr \, \, \text{ch} (2x) = 1 + 2\text{sh}^2 x\). En déduire un équivalent de ...
exo7 776
Résoudre l’équation \(x^y = y^x\) où \(x\) et ...