Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité, convexité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle et on développe l’étude des fonctions convexes amorcée en terminale. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-e), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A, +\infty[$ si $a = +\infty$, avec un intervalle $]-\infty, A[$ si $a = -\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 4592
Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...
exo7 4654
Soit \(R\) une fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement négatif, n’ayant pas de pôle da ...
exo7 4690
On considère l’équation : \(x^n + x^{n-1} + \dots + x - 1 = 0\).
exo7 4701
Soit une fonction continue \(f\) de \(\R\) dans ...
exo7 4703
Étudier la convergence de la suite \((u_n)\) définie par :
exo7 4716
Soit \(f : {[a,b]} \to {[a,b]}\) continue et la suite \((u_n)\) défi ...
exo7 4723
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) continue, \(u_0 \in {[0,1]}\) et ...
exo7 4728
Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...
exo7 4741
Soit \(A\) une partie de \(\R^n\) non vide. On note pour ...
exo7 4744
Soit \(K\) un compact convexe de \(\R^2\) d’intérieur non vide. Soit ...
exo7 4759
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P\in E\) on pose ...
exo7 4769
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : {[0,1]} \to \R\) de classe ...
exo7 4770
\(E=C([0,1],\R)\). Soit \(g\in E\). Pour tout ...
exo7 4773
Soit \(E\) un espace vectoriel réel. On considère une application ...
exo7 4785
Soit \(A\) une partie convexe d’un evn \(E\).
exo7 479
Soient \(n\in \Nn^{*}\) et \(a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{n}\), ...
exo7 4790
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4792
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to\R\) continue. On suppose que ...
exo7 4798
Montrer que les points fixes de \(f\), continue sur \([0,1]\), à val ...
exo7 4802
Soient \(E,F\) deux \(\R\)-espaces vectoriels normés, ...
exo7 4842
Soit \(\mathbb{U}\) le cercle unité de \(\C\) et ...
exo7 4855
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...
exo7 4857
Soient \({f,g} : {I\subset \R} \to E\) deux fonctions vectorielles de classe ...
exo7 4858
Soit \(f : {I\subset \R} \to {\R^2}\) une fonction continue, \(D\) une droite de ...
exo7 493
Pout tout \(x\in \Rr\) on note \(E(x)\) sa partie entière et ...
exo7 5025
Soit la courbe paramétrée par : \(x = 2t^3+3t^2\),\(y = 3t^2+6t\). Calculer la lo ...
exo7 5028
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue concave, \(\mathcal{C}^1\) par morceaux, ...
exo7 5057
Soit \({\cal S}\) une surface d’équation cartésienne \(z=f(\rho)\) où ...
exo7 5070
Calculer \(\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)\) pour \(a\) élément don ...
exo7 5074
Combien l’équation \[\tan x+\tan(2x)+\tan(3x)+\tan(4x)=0,\] possède-t-elle de solutions dans ...
exo7 5101
Trouver \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x^x)^x}{x^{(x^x)}}\).
exo7 5106
Dans chacun des cas suivants, déterminer \(f(I)\) puis vérifier que \(f\) réalise ...
exo7 5218
Montrer que les sous groupes du groupe \((\Rr,+)\) sont soit de la forme \(a\Zz\) ...
exo7 5236
Etudier les deux suites \(u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) et ...
exo7 5242
Montrer que pour \(x\) réel strictement positif, on a : ...
exo7 5246
Soit \(u_n\) l’unique racine positive de l’équation \(x^n+x-1=0\). Etudier la sui ...
exo7 534
Montrer que pour \(n\geq1\), l’équation \(x^n+x^{n-1}+x^2+x-{n+1 \over n}=0\) adm ...
exo7 5373
Soient \(a_{i,j}\) (\((i,j)\) élément de ...
exo7 5382
Soit \(f\) une fonction réelle d’une variable réelle définie et continue sur un voisinage de ...
exo7 5383
Soit \(f\) une fonction définie sur un voisinage de \(0\) telle que ...
exo7 5384
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues en ...
exo7 5385
Soit \(A\) une partie non vide de \(\Rr\). Pour ...
exo7 5386
Montrer en revenant à la définition que \(f(x)=\frac{3x-1}{x-5}\) est continue en tout point de ...
exo7 5387
Montrer que la fonction caractéristique de \(\Qq\) est discontinue en chacun de ses points.
exo7 5388
Etudier l’existence d’une limite et la continuité éventuelle en chacun de ses points de la fonction définie sur ...
exo7 5389
Etudier en chaque point de \(\Rr\) l’existence d’une limite à droite, à gauche, la continuité de la fonction ...
exo7 539
On considère la fonction \(f : \R \longrightarrow \R\) définie par ...
exo7 5390
Trouver \(f\) bijective de \([0,1]\) sur lui-même et discontinue en chacun de ses ...
exo7 5391
Soit \(f\) une fonction continue et périodique sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5392
Soit \(A\) une partie non vide de \(\Rr\). Pour ...