Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Intégration
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Cette section a pour principal objectif de définir l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment et d’en établir les propriétés principales. Elle offre l’occasion de revenir sur les techniques de calcul intégral, mais aussi de traiter des exercices d’esprit plus théorique.
Les méthodes de calcul approché d’intégrales donnent l’occasion de revenir sur la problématique de l’approximation. On pourra ainsi comparer les performances de la méthode des rectangles et de celle des trapèzes.
La notion de continuité uniforme est introduite uniquement en vue de la construction de l’intégrale. L’étude systématique des fonctions uniformément continues n’est pas un attendu du programme.
Le corps $\mathbb{K}$ est pris égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Le professeur peut soit se placer d’emblée dans le cadre des fonctions à valeurs complexes, soit traiter en premier lieu le cas réel avant de procéder à une brève extension.
- a) Continuité uniforme 6
- b) Fonctions continues par morceaux 10
- c) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment 366
- d) Sommes de Riemann 18
- e) Lien entre intégrale et primitive 43
- f) Formules de Taylor globales 14
exo7 4379
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4383
Calculer \(I = \iint_\Delta (x^2 + xy + y^2)\,d xd y\) où ...
exo7 4386
Soit \(I = \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,d x\).
En calculant ...
exo7 4391
Calculer \(A = \iint_{0\le y\le x\le 1}^{} \frac{d xd y}{(1+x^2)(1+y^2)}\).
exo7 4400
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue.
Chercher ...
exo7 4488
Soit \(f:\R \to \R\) croissante. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de ...
exo7 4500
Soit \(P\in\R[X]\). Vérifier que : ...
exo7 4505
Soit \(f_n(x) = n\cos^nx\sin x\).
exo7 4506
Déterminer la limite simple des fonctions \(f_n : x \mapsto \frac{x^ne^{-x}}{n!}\) sur ...
exo7 4510
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue, non identiquement nulle, telle que ...
exo7 4517
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue telle que pour tout entier \(k\) on a ...
exo7 4541
Étudier la convergence de la suite de fonctions définies par : ...
exo7 4556
Soit \(f : \R \to \R\) continue et \(2\pi\)-périodique. Pour ...
exo7 4559
Déterminer un équivalent au voisinage de \(0\) de ...
exo7 4585
Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)
exo7 4592
Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...
exo7 4607
A l’aide d’un développement en série entière, montrer que ...
exo7 4609
Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).
exo7 4612
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\). Montrer, ...
exo7 4615
Soit \(P\in\C[X]\) ayant pour racines \(z_1,\dots,z_k\) de multiplicités ...
exo7 4616
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence e ...
exo7 4617
Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et ...
exo7 4620
Soit \(D\) le disque ouvert de \(\C\) de centre ...
exo7 4622
Calculer le développement des fonctions \(f\) \(2\pi\)-périodiques telles que : ...
exo7 4628
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ |\sin x| = \frac8\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2nx}{4n^2-1}\).
exo7 4646
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) \(2\pi\)-périodiques de classe ...
exo7 4665
Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=(-1)^n \int_{t=0}^1 \cos (nt^2)\,d t\).
exo7 4666
On note : \(E^{\phantom 1} = \{\text{fonctions continues }2\pi\text{-périodiques }f : \R \to \C\}\) ;
...
exo7 4667
Soit \(f\) à valeurs réelles, de classe \(\mathcal{C}^{2}\), ...
exo7 4744
Soit \(K\) un compact convexe de \(\R^2\) d’intérieur non vide. Soit ...
exo7 5026
Calculer la longueur totale des courbes suivantes :
exo7 5079
Soit \(k\) un réel distinct de \(-1\) et de ...
exo7 5087
Existence et calcul de \(\int_{0}^{\sin^2x}\Arcsin\sqrt{t}\;dt+\int_{0}^{\cos^2x}\Arccos\sqrt{t}\;dt\).
exo7 520
Soit \(H_n = 1 + \dfrac12 + \cdots + \dfrac1n\).
exo7 5222
Pour \(n\) entier naturel non nul, on pose ...
exo7 5398
Soit \(f\) continue sur \(\Rr^+\) à valeurs dans ...
exo7 5401
Soit \(f\) périodique et continue sur \(\Rr\). Montrer que ...
exo7 5418
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^3\) sur ...
exo7 5422
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr_+^*\) tel ...
exo7 5444
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et strictement positives sur ...
exo7 5445
Soit \(f\) une application de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5446
Limites de ...
exo7 5447
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^2\) sur ...
exo7 5448
On suppose que \(f\) est une fonction de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5449
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues strictement positives sur \([a,b]\) ...
exo7 5450
Etude complète de la fonction \(f(x)=\frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt\).
exo7 5451
Pour \(x\) réel, on pose \(f(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\).
exo7 5452
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5453
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\). Pour ...
exo7 5454
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(f\) une application de classe ...