Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Nombres complexes
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L’objectif de cette section, que l’on illustrera par de nombreuses figures, est de donner une solide pratique des nombres complexes, à travers les aspects suivants :
- l’étude algébrique du corps $\mathbb{C}$ et la notion d’équation algébrique ;
- l’interprétation géométrique des nombres complexes et l’utilisation des nombres complexes en géométrie plane ;
- l’exponentielle complexe et ses applications à la trigonométrie.
- a) Nombres complexes 58
- b) Conjugaison et module 88
- c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie 82
- d) Forme trigonométrique 55
- e) Équations algébriques 71
- f) Racines $n$-ièmes 102
- g) Exponentielle complexe 29
- h) Interprétation géométrique des nombres complexes 62
Complexes et matrices
L’ensemble des nombres complexes est défini par \(\mathbb{C}=\{a+i b / a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\}\) avec ...
Des équations à prendre au second degré
Résoudre les équations suivantes :
Décomposition d'une fraction rationnelle
Soit le polynôme \(P \in \R[X]\) défini par : \[P(X) = (X^{2}+1)^2-X^2.\]
exo7 1
Mettre sous la forme \(a+ib\) (\(a,b \in \Rr\)) les nombres : ...
exo7 10
Établir les égalités suivantes :
exo7 100
Étudier la suite \((z_{n})_{n\in \Nn}\) définie par: \(z_{0}=4,\) ...
exo7 101
On définit une fonction \(f\) de \(\mathbb C-\{i\}\) dans ...
exo7 102
Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb C\) dans ...
exo7 103
Montrer que si \(x+y+z=a\), \(yz+zx+xy=b\), ...
exo7 108
Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose : \(\Leftrightarrow ,\ \Leftarrow,\ \Rightarrow.\) ...
exo7 1084
Soit \(f : \C \rightarrow \C\) l’application \(z \mapsto e^{i\theta }\bar{z} .\) ...
exo7 11
Calculer le module et l’argument de \(u = \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\) et ...
exo7 12
Écrire sous la forme partie réelle-partie imaginaire, puis sous la forme module-argument le nombre complexe : ...
exo7 13
Déterminer le module et l’argument des nombres complexes : ...
exo7 1325
Les questions sont indépendantes. Soit \(j\) le nombre complexe ...
exo7 1334
Soit \(\lambda\in\Cc\) fixé. Montrer que ...
exo7 1364
Soit \(\Zz[i] = \left\{ a + ib, (a, b) \in \Zz^2\right\}\).
exo7 1367
On définit \(A=\left\{a+jb:a,b\in \Zz\right\}\) où \(j=\exp(\frac {2i\pi}3)\). ...
exo7 14
Déterminer le module et l’argument de \(\frac{1+i}{1-i}\). Calculer ...
exo7 15
Calculer \(Z=(1+i\sqrt 3)^{2000}\).
exo7 16
Calculer \((1+i\sqrt{3})^5 + (1-i\sqrt{3})^5\) et ...
exo7 17
Calculer le module et l’argument de \(z = \frac{1}{1+i\tan \alpha}\).
exo7 1708
Déterminer toutes les suites \((u_{n})_{n\in\N}\) à valeur complexes telles que : ...
exo7 177
Montrer que : \[2\cos \frac{\pi}{2^n} = \sqrt{2+\sqrt{2+\ldots\sqrt{2}}}.\]
exo7 18
Calculer les puissances \(n\)-ièmes des nombres complexes : ...
exo7 1835
Déterminer \(\max\limits_{\left| z\right| \leq 1}\left| \sin z\right| .\) On rappelle que : ...
exo7 1843
\(S=\{ z\in \Cc ; \vert z\vert = 1\} .\) Soit \(f\) l’application de ...
exo7 19
Comment choisir l’entier naturel \(n\) pour que \((\sqrt{3}+i)^n\) soit un réel ? ...
exo7 192
L’application \(f : \Cc\setminus{\{0\}} \rightarrow \Cc, \ z\mapsto z+1/z\) est-elle injective ? surjective ? bije ...
exo7 1950
Soit \(f\) une fonction intégrable au sens de Riemann périodique de période ...
exo7 197
Si \(z=x+iy\), \((x,y)\in \Rr^2\), on pose ...
exo7 2
Écrire les nombres complexes suivants sous la forme \(a+ib\) (\(a,b \in \Rr\)) : ...
exo7 20
Soit \(z\) un nombre complexe de module \(\rho\), d’argument ...
exo7 200
Soit \(f:\Rr \rightarrow \Cc, \ t\mapsto e^{it}\). Changer les ensembles de départ et d’arrivée afin que (la restr ...
exo7 2004
Déterminer les \(z\in \Cc\) tels que \(z, z^{2}, z^{4}\) soient alignés.
exo7 2005
Si \(a\) et \(b\) sont les affixes de deux sommets opposés d’un carré, calculer l ...
exo7 2007
Pour \(a, b, c\) trois nombres complexes tels que \(b\neq c\), on note ...
exo7 2009
Soient \(A, B, C, D\) quatre points distincts du plan tels que ...
exo7 201
On appelle demi-plan de Poincaré l’ensemble \(\mathcal{P}\) des nombres complexes ...
exo7 2041
Dans le plan cartésien identifié à \(\Cc\), un point \(M\) est représenté par son ...
exo7 2068
Soit \(\mathcal{E} = \left\{ M (z)/2\left| z\right|^2-\frac i2 (z^2-\bar{z}^2) = 1\right\}\), ...
exo7 2083
Calculer l’intégrale de \(f:[a,b]\rightarrow \R\) comme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants: ...
exo7 209
Dans \(\Cc\) on définit la relation \(\mathcal{R}\) par : ...
exo7 21
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels. Mettre le nombre complexe ...
exo7 22
Écrire l’expression \((1+\cos \phi+i\sin \phi)\) sous forme trigonométrique. En déduire l’expression de ...
exo7 229
Calculer le module et l’argument de \((1+i)^n\). En déduire les valeurs de ...
exo7 23
Mettre sous forme trigonométrique \(1 + e^{i\theta}\) où ...
exo7 2309
Soit \(\sqrt{d}\) non rationel. Dans l’anneau ...
exo7 2327
Calculer les intégrales ...
exo7 24
Montrer que si \(\left|z\right| \leq k <1\) alors ...