Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Nombres réels et suites numériques
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L’objectif de cette section est de donner une base solide à l’étude des suites réelles. On insiste sur le caractère fondamental de la propriété de la borne supérieure.
Dans l’étude des suites, on distingue nettement les aspects qualitatifs (monotonie, convergence, divergence) des aspects quantitatifs (majoration, encadrement, vitesse de convergence ou de divergence).
- a) Ensembles de nombres usuels 142
- b) Propriété de la borne supérieure 74
- c) Généralités sur les suites réelles 112
- d) Limite d’une suite réelle 324
- e) Suites monotones 64
- f) Suites extraites 34
- g) Traduction séquentielle de certaines propriétés 27
- h) Suites complexes 11
- i) Suites particulières 126
$\N^*$, $\Z$, $\N^2$ et $\Q$ sont dénombrables
On dit qu’un ensemble \(A\) est dénombrable s’il est en bijection avec u ...
Bornes d'ensembles de réels
Pour chacune des parties de \(\R\) suivantes, déterminer, s’ils existent, le minimum, maximum, borne inférieure et ...
Calculs
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r\).
-
...
Caractérisation des intervalles
Soit \(I\) une partie non vide de \(\R\) vérifiant la propriété suivante : ...
Division euclidienne dans $\Z$
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs, tels que ...
Développement en série et étude de suites définies par des équations polynomiales
On supposera connues les relations suivantes : ...
Effet du stride sur la taille et la résolution spatiale
On dispose d’une image \(6 \times 6\) et d’un noyau moyenneur \(3 \times 3\) (tou ...
Etude de point fixe
On s’intéresse au calcul de \(\ell\in[0;\pi]\) tel que ...
Exercice bilan I
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et pour tout ...
Exercice bilan I
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel par \(u_0=2\) et ...
Exercice bilan II
On considère les suites \(u\) et \(v\) définies par ...
Exercice bilan II
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et pour tout entier ...
Exercice bilan III
On consdière les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : ...
Exercice bilan III
On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) par ...
Exercice bilan IV
Soit \(u\) la suite vérifiant la relation ...
exo7 1133
On s’intéresse aux suites réelles \((u_{n})_{n\in\N}\) satisfaisant la relation de récurrence ...
exo7 119
Montrer que ...
exo7 1193
Soient \((u_n)_{n\geq 2}\) définie par ...
exo7 1194
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite bornée de nombres réels telle que ...
exo7 1195
On définit par récurrence les suites \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) et ...
exo7 1196
Soient \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) et \((v_n)_{n\in { \Nn}}\) deux suites de nombres ...
exo7 1197
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite de nombres réels non nuls convergeant vers une limite ...
exo7 1198
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite de nombres réels telle que les suites extraites ...
exo7 1199
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite de nombres réels et ...
exo7 1200
Pour tout \(n \in { \Nn}^*\) on note ...
exo7 1201
Une suite \((u_n)_{n\in \Nn }\) est dite de Cauchy lorsque, pour tout ...
exo7 1202
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0\) et \(u_1\) st ...
exo7 1203
Déterminer \((u_n)\) telle que
exo7 1204
Déterminer les suites bornées qui vérifient \(u_{n + 2} = 3u_{n + 1}-2u_n\).
exo7 1205
Déterminer les suites convergentes qui vérifient \(2u_{n + 2} = 7u_{n + 1}-3u_n\).
exo7 1206
Montrer que la suite \(u_0 = 1\), \(u_1 = 2\) et ...
exo7 1207
Déterminer les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) qui vérifient ...
exo7 1212
Soit \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) dans lui-même telle que ...
exo7 1229
Pour tout \(n\) entier supérieur où égal à \(2\), on considère le polynôme de deg ...
exo7 1230
Soit \(f\) une fonction d’un intervalle \(I\) à valeurs dans ...
exo7 1231
Soit \(f\) une application de \({ \Rr}\) dans ...
exo7 1232
Montrer que pour tout \(x>0\) on a : ...
exo7 1233
Soit \(f\) une application continue d’un intervalle \(]a,b[\) à valeurs dans ...
exo7 1256
Calculer pour \(a\in \Rr^{+*}\) : ...
exo7 1258
Soit \(x\in \Rr^{+},\) on définit \((u_{n}(x))_{n}\) et ...
exo7 1293
Soit \(f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+})\) décroissante, on pose : ...
exo7 1294
Soit \(f:]0;1] \rightarrow {\Rr }\) continue et monotone, telle que ...
exo7 1327
Soit \(G\) un sous-groupe de \((\Rr,+)\) avec ...
exo7 136
Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement vide ou réduit à un point ...
exo7 137
Montrez que chacun des ensembles suivants est un intervalle que vous calculerez. ...
exo7 1382
Montrer que l’ensemble \(S\) des suites réelles convergentes est une \(\Rr\)-algè ...
exo7 1437
Soit \(G\) le groupe \(\Qq/\Zz\). Si \(q\in\Q\), ...
exo7 148
Montrer que \(\sqrt{2} \notin \Qq\).
exo7 155
Soit la suite \((x_n)_{n\in \Nn}\) définie par \(x_0=4\) et ...
exo7 164
On considère une suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) telle que : ...