Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Polynômes et fractions rationnelles
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L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et fractions rationnelles. Il s’agit d’objets particulièrement riches, dont l’étude interagit avec beaucoup de thèmes abordés pendant le semestre. Par exemple :
- l’étude des équations algébriques enrichit le calcul algébrique et suggère des problèmes de localisation des racines, mettant en jeu des techniques analytiques dans le cas réel, plus géométriques dans le cas complexe ;
- l’interpolation de Lagrange permet de reconstituer un polynôme en fonction de ses valeurs en suffisamment de points et donne lieu à des problèmes issus de la théorie de l’approximation (majoration de l’erreur d’interpolation).
L’arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ est développée selon le plan déjà utilisé pour l’arithmétique de $\mathbb{Z}$, ce qui autorise un exposé allégé. Le programme se limite au cas où le corps de base $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Anneau des polynômes à une indéterminée 95
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$ 74
- f) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 82
- g) Formule d’interpolation de Lagrange 13
- h) Fractions rationnelles 39
- i) Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$ 70
exo7 5344
Résoudre dans \(\Cc\) les équations suivantes :
exo7 5345
Former une équation du sixième degré dont les racines sont les \(\sin\frac{k\pi}{7}\) où ...
exo7 5346
Soit \(P\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(4\).
Montrer qu ...
exo7 5348
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). Pour ...
exo7 5349
Déterminer \(\lambda\) et \(\mu\) complexes tels que les zéros de ...
exo7 5350
Soient \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) les zéros de ...
exo7 5351
Soient \(x_1\),..., \(x_8\) les zéros de ...
exo7 5352
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(z^4-21z+8=0\) sachant qu’il existe deux des so ...
exo7 5362
Montrer que ...
exo7 5363
Pour \(a\), \(b\) et \(c\) deux à deux distincts ...
exo7 5365
Soit \(A=\left(\frac{1}{a_i+b_j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\) où \(a_1\),..., ...
exo7 5381
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5412
Pour \(n\) entier naturel non nul donné, on pose \(L_n=((X^2-1)^n)^{(n)}\).
exo7 5413
Déterminer dans chacun des cas suivants la dérivée \(n\)-ème de la fonction proposée :
...
exo7 5420
Soit \(P\) un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à \(2\).
exo7 5430
Soit \(f(x)=\frac{x}{1-x^2}\). Calculer \(f^{(n)}(0)\) en moins de ...
exo7 545
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= \frac{2u_n^3+7}{3(u_n^2+1)}\) et ...
exo7 5466
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5468
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5471
Condition nécessaire et suffisante sur \(a\), \(b\), ...
exo7 5479
Résoudre sur \(\Rr\) les équations différentielles :
...
exo7 5485
Sur \(\Rr[X]\), on pose \(P|Q=\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\;dt\). Existe-t-il ...
exo7 5573
Soient \(a_0\),..., \(a_n\) \(n+1\) nombres comp ...
exo7 5627
Soient \(A\) et \(B\) deux éléments de ...
exo7 5630
Sur \(E =\Rr_3[X]\), on pose pour tout \(P\in E\), ...
exo7 5637
Soient \(x_0\),..., \(x_{n-1}\) \(n\) nombres co ...
exo7 5638
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5643
Soient \(x_1\),..., \(x_n\) \(n\) entiers nature ...
exo7 5678
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées complexes de format ...
exo7 5679
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 5687
Soit \(A\) une matrice carrée réelle de format \(n\geqslant 2\) vérifiant ...
exo7 5709
Soit \(p\in\Nn^*\), calculer ...
exo7 5728
Soit \(f\) une application continue sur \([0,1]\) à valeurs dans ...
exo7 5749
Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...
exo7 5761
Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on pose \(f(x) =\tan x\). ...
exo7 5773
Soit \(E=\Rr[X]\). Pour \((P,Q)\in E^2\), on pose ...
exo7 5779
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\), non nulle à valeurs réelles posit ...
exo7 5822
Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) à coefficients réels. Montrer que la courbe ...
exo7 5869
Calculer \(\text{exp}(tA)\), \(t\in\Rr\), si
exo7 5870
Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc} 0&1/2&-2\\ 1/2&0&0\\ 0&0&-1/2 \end{array} \right)\). Ca ...
exo7 5873
Montrer que \(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), \(\text{exp}(A)\) est un polynôme ...
exo7 59
Soit \(\beta \in \Cc\) tel que \(\beta^7=1\) et ...
exo7 614
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes à coefficients réels de degré respectif ...
exo7 6151
Soit \(P\in{\Cc}[X]\) un polynôme de racines \(z_1,\ldots ,z_n\) distinctes ou no ...
exo7 6297
Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...
exo7 6301
Soit \(f:\Rr \to \Rr\) une application \(C^\infty\) et soit ...
exo7 6363
Soit \(A\in {\cal L}(\Rr^n)\) et \(0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda\) valeur p ...
exo7 6459
Montrer que les groupes suivants ne sont pas isomorphes :
exo7 6500
Montrer que les anneaux de polynômes \(\R[X]\) et \(\C[X]\) ne sont pas isomorphe ...
exo7 6524
Pour les anneaux de polynômes sur un corps \(F\) montrer que ...