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La série \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{3}{4^n}\) est-elle convergente ? si oui, calculer la somme de cette ...

Dans chacun des cas, dire si la série est absolument convergente, semi-convergente, divergente ou grossièrement divergente.

Etudier les séries de termes généraux

Etudier les séries de termes généraux

En justifiant votre réponse, classer les dix séries \(\sum u_n\) suivantes en 4 catégories

• GD: cel ...

Soit \(a>0\) fixé. Pour \(n\) entier positif ou nul on définit ...

Pour tout entier \(n>0\), soit \(u(n)=(-1)^n/n\) . Soit ...

En discutant éventuellement selon la valeur des paramètres réels \(\alpha\) et ...

Déterminer, en fonction des paramètres réels \(\alpha\), \(\beta\), la nature des ...

Justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes ...

En comparant avec les intégrales de Wallis \[I_n = \int_0^{\pi /2} \cos^n t\,dt,\] déterminer la nature et calcul ...

On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...

Étudier la convergence des séries de terme général :

Quelle est la nature de la série de terme général \(\ln\Bigl(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}\Bigr)\) ?

Soit \(\alpha >0\). Étudier la série \(\sum u_n\), avec ...

Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \Bigl(n\sin(0.4/n)\Bigr)^n\) converge. Calculer à la machine une valeur a ...

Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{(1+n^2)^2}\) converge. Calculer une valeur approchée à ...

Soit \(u_n = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}+\cos n}\).

On pose \(u_n = \sum_{k=n}^\infty \frac {(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\). Étudier la convergence de la série ...

Soit \(a \in \R\).

Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) décroissante. On pose \(u_n = f(n)\) et ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\sum |u_n|\) et ...

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_0 < 1\) et ...

Soit \((u_n)\) une suite définie par la donnée de \(u_0 \in \R^*\) et la relation ...

Soient \(\sum a_n\), \(\sum b_n\), \(\sum c_n\) ...

Soit \((a_n)\) une suite bornée telle que pour tout entier \(p \ge 2\) : ...

Soit \(\sum_{n\ge1} x_n\) une série absolument convergente telle que pour tout entier ...

Montrer que pour \(x\in\C\), \(|x|<1\), on a l’égalité : ...

Soit \(z\in\C\) tel que \(|z| < 1\). Montrer que ...

Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n}\).

Soient \(a,b,c\in\N^*\). On pose ...

Soit \(P\in\R[X]\). Vérifier que : ...

Déterminer l’ensemble de définition de \(f(x) = \sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^k}{x+k}\). Montrer que ...

Pour \(x\in\R^+\) et \(n\in\N\), \(n\ge 2\) on p ...

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.

On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par : ...

Montrer l’existence de \(f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} kz^k\) pour \(z\in\C\), ...

Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...

Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...

On considère la fonction \(f\) : ...

Nature de la série de terme général

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sin\left(\frac{\pi n^2}{n+1}\right)\) ...

Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.

Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k(n-k))^\alpha}\).

Convergence et somme éventuelle de la série de terme général

Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de fonctions de termes généraux :

Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.

Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...

Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...