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Soient les quatre fonctions de \(\Rr^*\) dans \(\Rr^*\) ...

Les ensembles suivants, pour les lois considérées, sont-ils des groupes ?

Soit \(G\) un ensemble muni d’une loi de composition interne associative, admettant un élément neutre à droite et ...

Soient \((G,.)\) un groupe et \(a,b\in G.\) On suppose que ...

L’ensemble \(\Rr\setminus\left\{-1\right\}\) muni de la loi \(\star\) définie par ...

Soient \((G, \star)\) et \((H, \triangle)\) deux groupes. On définit sur ...

Soit \(G\) un groupe. Montrer que l’ensemble \(Aut(G)\) des automorphismes de ...

Soit \(E\) un ensemble muni d’une loi interne \(\star\). On appelle translation à ...

Soit un ensemble \(E\) et deux parties \(A\) et ...

Les ensembles \(\Nn,\Zz,\Rr, \Rr_{+}, \Rr_{+}^{*}, \Cc, \Cc^{*}\) munis des lois ...

On définit sur \(\Rr\) les deux lois \(\oplus\) et ...

Soit \((G, + )\) un groupe commutatif. On note \(\text{End} (G)\) l’ensemble des ...

Soit \(\Zz[i] = \left\{ a + ib, (a, b) \in \Zz^2\right\}\).

On suppose que \(\varphi\) est un isomorphisme de \((G,\ast)\) sur ...

Soit \(G\) un groupe et \(H\) une partie finie non vide de ...

On considère sur \(\R\) la loi de composition définie par \(x\star y= x+y-xy\). C ...

Soit \(E\) un ensemble muni d’une loi \(\star\) associative

(i) admettant ...

On considère l’ensemble \(E\) des matrices carrées à coefficients réels de la forme

...

Soit \(G\) un groupe d’ordre impair. Montrer que l’application \(f\) de ...

Montrer que dans un groupe \(G\), toute partie non vide finie stable par la loi de composition est un sous-groupe. ...

Montrer que \(a*b = \dfrac{a + b}{1 + ab}\) est une l.c.i sur \(]-1, 1[\) et déte ...

On munit l'ensemble $G = \{a, b, c, d\}$ d'une loi de composition interne dont la table de Pythagore est ...

Montrer que les ensembles \(G\) suivants, munis des lois \(\star\) données, sont ...

Dire pour quelle(s) raison(s) les opérations \(\star\) suivantes ne munissent pas les ensembles ...

Combien existe-t-il d’opérations internes sur un ensemble à \(n\) élé ...

Sur \(E = [0,1]\), on définit l’opération : ...

Soit \(*\) une opération associative sur \(E\), et ...

Soit \(*\) une opération sur \(E\). Pour ...

Soient \(G,H\) deux groupes multiplicatifs. On munit \(G\times H\) de l’opé ...

Les opérations suivantes sont-elles des lois de groupe ?

Soit \(G\) un ensemble non vide muni d’une opération interne ...

Soit \(E\) un ensemble fini muni d’une opération interne \(*\) assoc ...

Soit \(G\) un groupe multiplicatif et \(H\) une partie finie de ...

Soit \(E = \R \setminus \{0,1\}\), et \(f : E \to E, x \mapsto {\frac 1x}\), ...

Soit l’ensemble \(G=\lbrack 0,1\lbrack\) muni de la loi de composition interne ...

Soient \(a,b,c\) les éléments d’un groupe. Montrer que l’équation \(xaxba=xbc\) a ...

Montrer qu’un groupe ayant au plus \(4\) éléments est abélien. (Indication : Co ...

Lesquelles parmi les tables de Cayley suivantes décrivent un groupe ?

Montrer que si un ensemble \(E\) est muni d’une opération binaire qui vérifie les propriétés

• ...

Dire si les couples suivants sont des groupes : \((\Z,+)\) ; \((\Z,\times)\) ; ...

Soit \((E,\star)\) un ensemble muni d’une loi interne associative avec un élément neutre, noté ...

Soit \(E=\{a,b\}\) un ensemble à deux éléments. On cherche à déterminer toutes les structures de groupes sur cet e ...

Soit \(E = \Q^2 \setminus \{(0,0)\}\), et \(\star\) la loi de composition interne ...

Soit \(E\) un ensemble, on note \(\mathcal{P}(E)\) l’ensemble des parties de ...

Voici la table d’un groupe fini. Déterminer l’ordre de \(a\).

...

Soit \((E,\star)\) un ensemble muni d’une loi de composition interne associative avec un élément neutre, noté ...

Considérons le groupe \((\Zz , +)\). Le sous-ensemble \(4\Zz\) est par définition ...

Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal{P}(E)\) l’ensemble de ses parties.

Soit \(E=\{a,b\}\) un ensemble à deux éléments. On cherche à déterminer toutes les structures de groupe sur cet en ...

Voici la table d’un groupe \(G\). Quel est l’ordre de \(G\) ? Le groupe ...