Programme de mathématiques PC
A - Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices
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Le programme est organisé autour de trois objectifs :
- consolider les acquis de la classe de première année ;
- introduire de nouveaux concepts préliminaires à la réduction des endomorphismes : somme de plusieurs sous-espaces vectoriels, somme directe, sous-espaces stables, matrices par blocs, trace, polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées, polynômes interpolateurs de Lagrange ;
- passer du point de vue vectoriel au point de vue matriciel et inversement.
Le programme valorise les interprétations géométriques et préconise l’illustration des notions et résultats par de nombreuses figures.
- a) Produit d’espaces vectoriels, somme de sous-espaces vectoriels 20
- b) Matrices par blocs et sous-espaces stables 39
- c) Trace 30
- d) Polynômes d’endomorphismes et de matrices carrées 90
- e) Interpolation de Lagrange 18
exo7 1038
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \({K}\)-espac ...
exo7 1058
Soient \(A\) et \(B \in M_n(\mathbb{K} )\) deux matrices triangulaires supérieure ...
exo7 1085
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R ^3)\) telle que \(f^3=-f\) et ...
exo7 1100
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1107
On considère l’espace \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) des matrices carrées ...
exo7 1108
On note \(\R_{n}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 1135
Calculer les déterminants suivants : ...
exo7 1137
Calculer les déterminants suivants :
...
exo7 1159
Soit \(\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}\) tel que \(A^{2}+B^{2}=AB\) et ...
exo7 1165
Soient \(x_0\),\(x_1\),...,\(x_n\), ...
exo7 1383
Soient \(E\) un \(\Rr\)-ev et ...
exo7 1468
Montrer que sur \(M_{n}({\Rr})\) l’application : ...
exo7 1521
On appelle trace d’une matrice \(A\), et on note \(\mathrm{tr}(A)\), la ...
exo7 1522
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels et soit ...
exo7 1547
Soit \(A=(a_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq n}}\) une matrice symétrique réelle. Montrer que ses valeu ...
exo7 1550
Dans l’espace vectoriel \(\R^{4}\) muni de son produit scalaire canonique, on considère l’endomorphisme ...
exo7 1574
Soit \(A\in M_3 (\R )\) la matrice ...
exo7 1575
Soit \(P\in \C [X]\) tel que \(P(0)=0\) et ...
exo7 1576
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1580
Réduire la matrice ...
exo7 1581
Soit \(A\in\mathcal{M}_2(\C)\) de trace non nulle. Montrer que toute matrice ...
exo7 1582
Que peut-on dire d’un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie annulé par les polynômes ...
exo7 1592
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel ...
exo7 1594
Soient \(J=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)\) et la matrice par blocs à coeffici ...
exo7 1596
On se place dans \(E=\C\,\,^4\) muni de sa base canonique ...
exo7 1601
Soient \(A \in \mathcal{M}_4 \left (\mathbb{R} \right )\) et ...
exo7 1604
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de ...
exo7 1605
On considère les matrices suivantes : ...
exo7 1609
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E=\C^{n}\). Soit ...
exo7 1613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et de base ...
exo7 1614
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1619
Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 1. Soit \(A\) une matrice ...
exo7 1628
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes diagonalisables de ...
exo7 1630
Soit \(f\) un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel \(E\) et ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1652
Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1653
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1656
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1666
Soient les matrices ...
exo7 1667
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1668
On considère la matrice par blocs ...
exo7 1676
que \(f^3+f^2+f=0\) où \(E\) est un \(\Rr\)-espa ...
exo7 1677
Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\) et \(a\in E.\)
exo7 1682
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
exo7 1683
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel, \(f\) et ...
exo7 1684
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1685
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1689
Soit \(f\) l’endomorphisme de l’espace vectoriel canonique \(\Rr^3\) dont la matr ...