Programme de mathématiques PC
d) Séries géométrique et exponentielle d’une variable complexe
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Continuité de la somme d’une série entière de la variable complexe sur le disque ouvert de convergence. | La démonstration est hors programme. |
Développement de $\dfrac{1}{1-z}$ sur le disque unité ouvert. Développement de $\exp(z)$ sur $\mathbb{C}$. |
exo7 2877
On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...
exo7 4468
Soient \(a \in {[0,1[}\). Écrire \(\frac1{(1-a)^2}\) comme produit de deux séries ...
exo7 4497
Soient \(a,b,c\in\N^*\). On pose ...
exo7 4516
Trouver une suite de polynômes \((P_n)\) convergeant simplement (resp. uniformément) vers la fonction nulle sur ...
exo7 4531
Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\) et ...
exo7 4539
Montrer, pour \(x > 0\) : ...
exo7 4548
Soit \((p_n)\) une suite d’entiers naturels, strictement croissante et telle que ...
exo7 4564
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.
exo7 4583
Montrer l’existence de \(f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} kz^k\) pour \(z\in\C\), ...
exo7 4612
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\). Montrer, ...
exo7 4613
Soit \(f(z) = \sum a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\) telle que pour tout ...
exo7 4615
Soit \(P\in\C[X]\) ayant pour racines \(z_1,\dots,z_k\) de multiplicités ...
exo7 4616
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence e ...
exo7 4617
Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et ...
exo7 4619
Soit \(z_1,\dots,z_p\in \C\), \(p_1,\dots,p_p \in \R^+\) tels que ...
exo7 4620
Soit \(D\) le disque ouvert de \(\C\) de centre ...
exo7 4621
Développer en série entière \(f\) : \(z \mapsto z(1-z)^{-2}\). Montrer que ...
exo7 5691
Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.
exo7 5712
Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...
exo7 5739
Montrer que \(\int_{0}^{1}x^{-x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}\) et ...
exo7 5743
Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...
exo7 5759
Soient \((a_n)_{n\in\Nn}\) et \((b_n)_{n\in\Nn}\) deux suites de réels strictemen ...
exo7 5878
Déterminer le rayon de convergence puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n\) quand ...
exo7 5896
Déterminer \(\text{Max}\{|\sin z|,\;z\in\Cc,\;|z|\leqslant1\}\).
exo7 6655
On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour \(0<t<2\pi\)
...
exo7 6740
Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.
exo7 7543
Montrer que la série \(\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{z+n}\) converge de façon compacte sur ...
exo7 7553
On rappelle que pour tout entier naturel \(n\), et tout nombre complexe \(z\), ...
exo7 7567
Soit \(c\) un point de \(\Cc^-\).
exo7 7584
Rappeler la définition du rayon de convergence de la série entière \(\sum a_n z^n\).
exo7 7588
Soit \(\sum_{n\geq 1}a_nz^n\) une série entière convergente (avec un rayon de convergence strictement positif). Dé ...
exo7 7616
Rappeler la définition du rayon de convergence de la série entière \(\sum a_n z^n\).
exo7 7619
Soit \(\sum_{n\geq 1}a_nz^n\) une série entière convergente (avec un rayon de convergence strictement positif). Dé ...
Identification des coefficients d'une série entière
On rappelle que, pour tout réel \(x\) tel que \(|x|<1\), ...
Rayon de convergence et calcul de somme
On considère la série entière à variable réelle \[T(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{2^{n+1}}{n+1}\,x^{n+1}.\]
Rayon de convergence et calcul de somme
On considère la série entière à variable réelle \[S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+2}{n!}\,x^n.\] ...