Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Analyse asymptotique
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L’objectif de cette section est d’introduire les techniques asymptotiques fondamentales, dans les cadres continu et discret. Les fonctions et les suites y sont à valeurs réelles ou complexes, le cas réel jouant un rôle prépondérant. On donne la priorité à la pratique d’exercices plutôt qu’à la vérification de propriétés élémentaires relatives aux relations de comparaison.
Les développements limités sont les principaux outils du calcul asymptotique. Afin d’en disposer au plus tôt, on traitera en premier lieu les fonctions. Les étudiants doivent connaître les développements limités usuels et savoir mener à bien rapidement des calculs asymptotiques simples. En revanche, les situations dont la gestion manuelle ne relèverait que de la technicité seront traitées à l’aide d’outils logiciels.
Cette section permet de revenir sur la problématique de la vitesse de convergence introduite au premier semestre lors de l’étude des fonctions de variable réelle.
- a) Relations de comparaison : cas des fonctions 108
- b) Développements limités 138
- c) Relations de comparaison : cas des suites 65
- d) Problèmes d’analyse asymptotique 49
exo7 604
Montrer que \(\forall n\in \Nn^{*},\exists !x_{n}\in [n,n+1[\) solution de ...
exo7 605
Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...
exo7 611
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 625
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 630
Étudier les asymptotes de \(f (x) = e^{\frac 1x}\sqrt{x (x + 2)}\).
exo7 6301
Soit \(f:\Rr \to \Rr\) une application \(C^\infty\) et soit ...
exo7 6303
Montrer que si \(x = 1,32 \pm 10^{-2}\) et \(y = 0,45 \pm 10^{-2}\), alors ...
exo7 631
Montrer que \[\frac{\ln (x)}{x^\alpha} < \frac{2}{\alpha x^{\alpha/2}} \text{ où } \alpha > 0.\] En déduire ...
exo7 6317
On considère les deux équations différentielles du second ordre ...
exo7 635
Calculer : ...
exo7 655
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) une fonction vérifiant : ...
exo7 6837
Soit \(f: \ ]0,+\infty[\ \times \ ]0,+\infty[ \ \times \Rr \to \Rr\) la fonction ...
exo7 6888
Donner le développement limité en \(0\) des fonctions :
exo7 6975
Simplifier l’expression \(\displaystyle\frac{2\ch^2(x)-\sh(2x)}{x-\ln(\ch x)-\ln 2}\) et donner ses limites en ...
exo7 6989
Étudier les courbes d’équations polaires suivantes:
exo7 754
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 7564
Développer si possible en séries entières au voisinage de \(0\) les applications
exo7 775
Montrer que \(\forall x \in \Rr \, \, \text{ch} (2x) = 1 + 2\text{sh}^2 x\). En déduire un équivalent de ...
exo7 791
Soit \((a,b)\in {\Rr}^{2}\) (\(a<b\)), et ...
exo7 795
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt.\] Éventuellemment, en donner ...
exo7 818
Soit \(I_{n} = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin ^n tdt\).
exo7 837
Calculer \(\lim \limits_{n \rightarrow + \infty} ( \frac{ (2n) ! }{n ! n^n})^{\frac 1n}\).
exo7 917
Soit \(\alpha \in \Rr\) et \(f_\alpha : \Rr \to \Rr\), ...
Limites - le retour
Traiter les limites de l’exercice 10 en utilisant les négligeabilités et équivalences (sauf limites \(4\) et ...
Règle de Raabe-Duhamel
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries à termes réels strictement positi ...
Série télescopique cachée et équivalent
Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose ...
Séries de même nature via un équivalent
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et soit ...
Variations autour de la série harmonique
Calculer \(\displaystyle \sum_{n=1}^{k} \left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)\) pour tout ...
Vrai ou faux ?
Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée mais une mauvaise réponse entraîne une pénalité de points.
Étude d'une série numérique
Soit \(\alpha\) un nombre réel et \((u_n)\) la suite définie pour tout entier nat ...
Étude de la nature d'une série
Prouver qu’un équivalent de \(e^{x^2}-\cos(x)\) au voisinage de \(0\) est ...
Étude d’une famille de séries à l’aide d’une rationalisation
Pour tout \(\beta\in\mathbb{R}\), on considère la suite définie pour tout ...