Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
d) Ensemble des matrices carrées
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$. | Non commutativité si $n\geqslant 2$. Exemples de diviseurs de zéro, d’éléments nilpotents. |
Matrice identité, matrice scalaire. | Notation $I_n$. |
Matrices symétriques, antisymétriques. | Notations $\mathscr{S}_n(\mathbb{K})$, $\mathscr{A}_n(\mathbb{K})$. |
Formule du binôme. Produit de matrices diagonales, de matrices triangulaires supérieures, inférieures. | Application au calcul de puissances. |
Matrice inversible, inverse. Groupe linéaire. | Notation $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme. |
Inverse d’une transposée. Inverse d’un produit de matrices inversibles. Les opérations élémentaires préservent l’inversibilité. | |
Calcul de l’inverse d’une matrice, par opérations élémentaires ou par résolution du système $AX=Y$. | Toute technicité est exclue. |
Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité d’une matrice triangulaire ; l’inverse d’une matrice triangulaire inversible est triangulaire. | Cas particulier des matrices diagonales. |
exo7 1187
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice ...
exo7 1314
Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils des groupes : ...
exo7 1321
On nomme \(M_n({\Zz})\) l’ensemble des matrices de taille \(n\times n\) à coeffic ...
exo7 1413
Soit \(GL_2(\Rr)\) l’ensemble des matrices inversibles \(2\times 2\) à cœfficient ...
exo7 1532
Soit \((E,<,>)\) un espace euclidien de dimension \(p\). A chaque ...
exo7 1556
Soient \(A=\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathcal{O}_n(\Rr)\) et ...
exo7 1589
Montrer que \(P=(X-1)^2(X-2)\) est un polynôme annulateur de la matrice ...
exo7 1595
On considére la matrice ...
exo7 1598
Soit \(A \in \mathcal{O}_n(\R)\). Montrer que si \(-1\) n’est pas valeur propre d ...
exo7 1606
Soit \(J\) la matrice ...
exo7 1608
Soit \(M\) la matrice suivante : ...
exo7 1615
Soit \(A=\left (\begin{array}{cc} 1&4\\2&3\end{array}\right ).\) Trouver les valeurs propres de ...
exo7 1617
Soit \(A=\left (\begin{array}{ccc} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right ).\) Trouver, sans ...
exo7 1620
On considère la matrice ...
exo7 1623
Pour quelles valeurs de \((a,b,c)\in\C^{2}\) la matrice ...
exo7 1629
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. ...
exo7 1632
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1674
Soit \(\theta\in]0,\pi[\). On considère les deux matrices d’ordre \(n\):
...
exo7 1711
Soit \(a\) un réel. On considère le système à \(n\) équations et ...
exo7 1712
On considère la matrice ...
exo7 1899
Soit \(A\in M_n(\Cc )\). Montrer quil existe une suite de matrices ...
exo7 2112
Montrer que l’ensemble des matrices carrées à \(n\) lignes et \(n\) colonnes de d ...
exo7 2123
On pose ...
exo7 2211
Démontrer l’identité \[(A + UBV)^{-1} = A^{-1} -A^{-1} U( I+BVA^{-1}U)^{-1} BVA^{-1}\] en précisant:
-
...
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2229
Soit \(v\) un vecteur réel vérifiant \(v^Tv=1\). Montrer que la matrice de Househ ...
exo7 2445
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant pour tout ...
exo7 2448
Calculer les déterminants suivants ...
exo7 2451
Soit \(A = (a_{i,j})\) une matrice complexe dont les coefficients vérifient ...
exo7 2452
Calculer par récurrence le déterminant ...
exo7 2453
Montrer que ...
exo7 2454
Soit \(M\) une matrice carrée d’ordre \(n\), et ...
exo7 2455
Calculer le déterminant d’ordre \(n\) ...
exo7 2456
Calculer le déterminant ...
exo7 2457
Soit \(A, B\) deux matrices carrées d’ordre \(n\), ...
exo7 2458
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(n\) réelles, et ...
exo7 2465
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) tridiagonale, c’est-à-dire telle que ...
exo7 2466
Soit la matrice ...
exo7 2513
Soit \({\cal F}\) l’algèbre des matrices carrés \(p\times p\) munie d’une norme. ...
exo7 2565
Soit \(A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\) une matrice carrée \(n\times n\). On veut d ...
exo7 2567
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1\end{pmatrix}\] Factoriser le polynôme ca ...
exo7 2574
(5 points) Soit \(A\) une matrice carrée, \(A\in M_n(K)\) ( ...
exo7 2578
Soient \(a,b,c\) des réels vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\) et ...
exo7 2582
Soit \(a\in\R\) et \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2592
Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\R)\) suivante : ...
exo7 2596
Soit \(P(X)\) un polynôme de \(\C[X]\), soit ...
exo7 2603
Soit \(a\in\R\) et \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2605
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2606
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la matrice dans la base canonique es ...