Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
d) Ensemble des matrices carrées
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$. | Non commutativité si $n\geqslant 2$. Exemples de diviseurs de zéro, d’éléments nilpotents. |
Matrice identité, matrice scalaire. | Notation $I_n$. |
Matrices symétriques, antisymétriques. | Notations $\mathscr{S}_n(\mathbb{K})$, $\mathscr{A}_n(\mathbb{K})$. |
Formule du binôme. Produit de matrices diagonales, de matrices triangulaires supérieures, inférieures. | Application au calcul de puissances. |
Matrice inversible, inverse. Groupe linéaire. | Notation $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme. |
Inverse d’une transposée. Inverse d’un produit de matrices inversibles. Les opérations élémentaires préservent l’inversibilité. | |
Calcul de l’inverse d’une matrice, par opérations élémentaires ou par résolution du système $AX=Y$. | Toute technicité est exclue. |
Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité d’une matrice triangulaire ; l’inverse d’une matrice triangulaire inversible est triangulaire. | Cas particulier des matrices diagonales. |
exo7 3479
Soit \(M \in \mathcal{M}_3(K)\) antisymétrique. Quel est le rang de \(M\) ?
exo7 3481
Soit \(M=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\C)\). On dit que \(M\) est à diago ...
exo7 3484
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(K)\). Montrer que \(A\) est non inversible si et seuleme ...
exo7 3496
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3498
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3499
Chercher les valeurs propres des matrices :
exo7 3507
Soit ...
exo7 3518
Soit ...
exo7 3524
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{3}(\R)\).
exo7 3526
Soit \(C = \begin{pmatrix} a_1\cr \vdots\cr a_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\) et ...
exo7 3531
Soit \(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \R\) et ...
exo7 3532
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) inversible et \(B = A^{-1}\), ...
exo7 3535
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer l’équivalence entre :
(a) : ...
exo7 3536
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3541
Donner une CNS sur \(a,b\in\C\) pour que la matrice ...
exo7 3544
Soit ...
exo7 3551
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 = A + I\). Montrer que ...
exo7 3591
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr 1 &1 \cr \end{pmatrix}\).
exo7 3677
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, ...
exo7 3680
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)\). Montrer que \(\det(^tAA) \ge 0\).
exo7 3728
Soit \(A = (a_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\R)\) à coefficients tous non nuls. On note ...
exo7 3729
Soit \(S\) une matrice carrée d’ordre \(n\), à coefficients réels, symétrique déf ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 3752
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) égales à leur comatrice ?
exo7 3753
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que : ...
exo7 3777
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montrer que \(A\) est symétrique définie positi ...
exo7 3778
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique. Pour \(1 \le p \le n\), on note ...
exo7 3786
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques définies positives. Montrer que ...
exo7 3812
Soit \(S\), matrice orthogonale d’ordre impair, de coefficients fonction de \(t\) ...
exo7 3819
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^2 = -I_n\).
exo7 3830
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique définie positive.
exo7 3981
Soit \(f : \R \to \R\) convexe et \(x < y < z\). Montrer que ...
exo7 4160
Soit \(f : {\R^n} \to {\R^n}, {(x_1,\dots,x_n)} \mapsto {(\sigma_1,\dots,\sigma_n)}\)
où ...
exo7 4751
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant ve ...
exo7 4933
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation ...
exo7 5270
Montrer que tout hyperplan de \(\mathcal{M}_n(\Kk)\) \((n\geq 2)\) contient au mo ...
exo7 5363
Pour \(a\), \(b\) et \(c\) deux à deux distincts ...
exo7 5364
Calculer :
exo7 5366
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\) où, pour tout \(i\) et tout ...
exo7 5368
Soit \((A,B)\in(M_n(\Rr))^2\) et ...
exo7 5369
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\) et \(B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\) avec ...
exo7 5370
Déterminer les matrices \(A\), carrées d’ordre \(n\), telles que pour toute matri ...
exo7 5371
Soit ...
exo7 5372
Calculer \(\mbox{det}(\mbox{com}A)\) en fonction de \(\mbox{det}A\) puis étudier ...
exo7 5373
Soient \(a_{i,j}\) (\((i,j)\) élément de ...
exo7 5374
Calculer
exo7 5375
Résoudre (en discutant en fonction des différents paramètres) les systèmes suivants :
...
exo7 5378
Résoudre le système : \(x_1+x_2=0\), \(x_{k-1}+x_k+x_{k+1}=0\) pour ...
exo7 5379
Soit \(E\) un ensemble contenant au moins \(n\) éléments et ...
exo7 5380
Déteminer l’inverse de \(A=(a_{i,j})\) telle que \(a_{i,i+1}=a_{i,i-1}=1\) et ...