Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 1525
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1543
Soit \(f\) une transformation orthogonal d’un espace euclidien \(E\). Montrer que ...
exo7 1544
Déterminer la nature des transformations de \(\R^{3}\) dont les matrices dans la base canonique sont les suivantes ...
exo7 1551
A — Soit \(E\) un espace vectoriel et \(u\) et ...
exo7 1552
Dans un espace euclidien \((E,<\cdot ,\cdot>)\), on considère un vecteur ...
exo7 1554
Dans un espace euclidien \(E\), on considère un vecteur unitaire \(a\), et à un r ...
exo7 1557
Que peut-on dire d’une matrice carrée réelle à la fois symétrique et orthogonale ? Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’endom ...
exo7 1560
Déterminer une matrice diagonale \(D\in\mathcal{M}_2(\Rr)\) et une matrice orthogonale ...
exo7 1566
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1567
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1568
Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\in O (E)\) telle que ...
exo7 1575
Soit \(P\in \C [X]\) tel que \(P(0)=0\) et ...
exo7 1582
Que peut-on dire d’un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie annulé par les polynômes ...
exo7 1587
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\ge 2\) et ...
exo7 1592
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel ...
exo7 1599
Soient \(E\) un K-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1600
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphisme s d’un espace vectoriel ...
exo7 1603
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de ...
exo7 1604
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de ...
exo7 1609
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E=\C^{n}\). Soit ...
exo7 1610
On considère l’application suivante : ...
exo7 1612
Soient trois vecteurs \(e_1,\) \(e_2,\) \(e_3\) ...
exo7 1613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et de base ...
exo7 1618
On considère les matrices suivantes ...
exo7 1621
Soit \(T\) l’application linéaire de \(\mathbb R^3\) dans ...
exo7 1624
Soit \(u\) l’application suivante : ...
exo7 1631
Soit \(P_{0}\) un polynôme de \(\R_{n}[X]\), et ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1640
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 1644
On considère un réel \(\alpha\) et l’application \(T_{\alpha}\) suivante : ...
exo7 1648
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\C^3\) dont la matrice par rapport à la base can ...
exo7 1651
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Une application ...
exo7 1656
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1657
Soit \(\rho\) l’application de \(\R _4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1660
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1662
Soient \(A\in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(\text{tr}(A)\not= 0\) et ...
exo7 1663
Montrer que si le polynôme minimal d’un endomorphisme \(f\) d’un \(K\)-espace vec ...
exo7 1669
On désigne par \(E\) l’espace vectoriel des polynôme s à coefficients réels, et par ...
exo7 1670
Pour tout élément non nul \(a=(a_1, a_2, \ldots ,a_n)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on ...
exo7 1672
On considère l’endomorphisme \(a\) de \(E=\Rr^2\) dont la matrice représentative ...
exo7 1675
Soit l’endomorphisme \(f\) de \(\Rr^3\) canoniquement associé à la matrice ...
exo7 1677
Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\) et \(a\in E.\)
exo7 1682
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
exo7 1683
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel, \(f\) et ...
exo7 1684
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1685
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1695
Soit \(\rho\) l’application de \(\R_4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...
exo7 1698
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1699
Soit \(u\in\mathcal{L}(\R^4)\) de matrice dans la base canonique : ...
exo7 1723
Soit le \(\Rr\)-espace vectoriel ...