Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-f), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A,+\infty[$ si $a=+\infty$, avec un intervalle $]-\infty,A[$ si $a=-\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 6973
Montrer que pour tout \(x>0\), on a ...
exo7 6975
Simplifier l’expression \(\displaystyle\frac{2\ch^2(x)-\sh(2x)}{x-\ln(\ch x)-\ln 2}\) et donner ses limites en ...
exo7 698
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : ...
exo7 6981
Représenter les courbes d’équation cartésienne \(y=f(x)\), donner l’équation de leur tangente au point d’abscisse ...
exo7 699
Déterminer \(a,b \in \Rr\) de manière à ce que la fonction \(f\) définie sur ...
exo7 700
Soit \(f : \Rr^* \longrightarrow \Rr\) définie par ...
exo7 702
Calculer les dérivées d’ordre \(n\) des fonctions : ...
exo7 703
Étant données \(u\) et \(v\) des fonctions dérivables à l’ordre ...
exo7 704
Etudier la dérivabilité sur \(\mathbb{R}\) des applications suivantes : ...
exo7 706
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\).
exo7 707
Prolonger par continuité en \(0\) et étudier la dérivabilté de
exo7 708
Soit ...
exo7 709
Soit \(f (x) = \exp (-\frac 1{x^2})\) si \(x \neq 0\) et ...
exo7 711
Soit \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) définie par : ...
exo7 713
La fonction \(x\rightarrow \cos \sqrt{x}\) est-elle dérivable en \(0\) ?
exo7 714
En quels points la fonction \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) définie par : ...
exo7 716
Etudier la fonction \(f: x\mapsto x^5-5x+1\) sur \(\mathbb{R}\) et en déduire que ...
exo7 717
Montrer que le polynôme \(X^n+aX+b\), (\(a\) et ...
exo7 718
Soit \(f\) une fonction \(n\) fois dérivable sur ...
exo7 720
Soit \(f\) une fonction continue et dérivable sur \([a,+\infty[\) et telle que ...
exo7 721
Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction \[f(x) =\alpha x^2+\beta x+\gamma\] sur l’i ...
exo7 722
Appliquer la formule des accroissements finis à la fonction \[f(x)=a+bx+ce^{\alpha x}\] (où ...
exo7 723
Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \([a,a+2h]\). Par introduction de ...
exo7 724
Soient \(x\) et \(y\) réels avec \(0<x<y\) ...
exo7 725
Par application du théorème des accroissements finis à \(f(x) = \ln x\) sur ...
exo7 726
Étant donné \(\alpha\) dans \(]0,1[\), montrer que pour tout entier naturel ...
exo7 727
Montrer que pour tout \(x \in \Rr\), ...
exo7 728
Soit \(f: \Rr \longrightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = (1-k)^3x^2+(1+k)x^3\) où ...
exo7 729
Appliquer la règle de l’Hôpital aux calculs des limites suivantes : ...
exo7 730
Calculer \[\lim_{x\rightarrow 0}\ \ \frac{\cos (x^4)-1}{x^4e^x} ;\]
...
exo7 731
Soit \(f \in C^2 (\Rr)\) telle que ...
exo7 732
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) dérivable telle que ...
exo7 733
Déterminer les extremums de \(f (x) = x^4-x^3 + 1\) sur \(\Rr\).
exo7 735
Trouver les fonctions \(f:{\Rr\rightarrow \Rr}\) dérivables en \(0\) telles que : ...
exo7 736
Soit \(f\) dérivable sur \({\Rr }\) telle que ...
exo7 737
Soit \(f\in C^{1}([0;1],{\Rr}),\)telle que \(f(0)=0.\) Calculer : ...
exo7 738
Soient \(f,g :[a , b] \longrightarrow \R\) deux fonctions continues sur ...
exo7 739
Soit \(n \geq 2\) un entier fixé et ...
exo7 740
On considère la fonction \(f : \R \to \R\) définie par ...
exo7 745
Une statue de hauteur \(s\) est placée sur un piédestal de hauteur \(p\).
exo7 7452
On considère dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé la courbe \(C\) d’équation polaire ...
exo7 758
Montrer qu’il n’existe pas de fonction \(f:[1;+\infty [\rightarrow \Rr\) vérifiant: ...
exo7 759
Calculer : ...
exo7 772
Préciser les comportements
de \(\displaystyle{x\mapsto \frac{x^2-e^x}{x-e}}\) quand ...
exo7 774
Déterminer \(\lim\limits_{ + \infty} (x-\ln (\text{ch}x))\).
exo7 778
Déterminer les fonctions \(f\) de \([a, b]\) dans ...
exo7 781
Soit \(f \in C^{0} ([0, 1], \Rr)\) telle que \(\int_{0}^{1}{f (t)dt} = \frac 12\) ...
exo7 782
Soit \(f \in C^0 (\Rr)\). On définit \({g} : {\Rr^*} \to {\Rr}\), ...
exo7 783
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans ...
exo7 784
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue strictement croissante telle que : ...