Programme de mathématiques PSI
B - Endomorphismes d’un espace euclidien
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Cette section vise les objectifs suivants :
- étudier les isométries vectorielles et matrices orthogonales, et les décrire en dimension deux et trois en insistant sur les représentations géométriques ;
- approfondir la thématique de réduction des endomorphismes dans le cadre euclidien en énonçant les formes géométrique et matricielle du théorème spectral ;
- introduire la notion d’endomorphisme autoadjoint positif, qui trouvera notamment son application au calcul différentiel d’ordre 2.
La notion d’adjoint est hors programme.
- a) Isométries vectorielles d’un espace euclidien 109
- b) Matrices orthogonales 83
- c) Espace euclidien orienté de dimension 2 ou 3 34
- d) Isométries vectorielles d’un plan euclidien 53
- e) Isométries d’un espace euclidien de dimension 3 53
- f) Réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques réelles 52
Etude d'une méthode itérative
Soit \(A \in \mathcal{M}_N(\R)\) une matrice réelle symétrique définie positive et ...
exo7 1172
Calculer les déterminants suivants. ...
exo7 1400
On note \(R_n\) la rotation du plan de centre \(O\), d’angle ...
exo7 1464
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) et \(g\) ...
exo7 1471
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f:E\rightarrow E\) tel que ...
exo7 1473
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 1477
Déterminer la matrice dans la base canonique de \(\R^{3}\) de la projection orthogonale sur le plan d’équation ...
exo7 1479
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1481
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à ...
exo7 1482
Dans \(\R ^3\) muni du produit scalaire euclidien canonique, donner la matrice de la projection orthogonale sur le ...
exo7 1483
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et \(F\) un sous-espace ...
exo7 1484
Quelle est la transformation de \(\Rr^{3}\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 1486
Soient \(E\) un espace euclidien, \(u\) un vecteur non nul et ...
exo7 1498
Réduire en somme de carrés indépendants les formes suivantes :
exo7 1524
On considère un espace euclidien \((E,<>)\). On rappelle que l’adjoint ...
exo7 1525
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1526
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1528
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1529
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1530
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(3 .\)
exo7 1531
Soit \(A =(a_{ij}) \in \textbf{M}_n(\R)\). Montrer que \(S = {}^t\! A\cdot A\) es ...
exo7 1533
Diagonaliser très rapidement la matrice ...
exo7 1534
Montrer que l’endomorphisme de l’espace vectoriel euclidien canonique \(\Rr^3\) de matrice dans la base canonique ...
exo7 1536
Soit \(\, E\,\) un espace euclidien de dimension \(\, 3\, .\)
exo7 1537
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(f\in\mathcal{L}(E)\) un endomorphis ...
exo7 1538
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1540
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien (de dimension finie) et ...
exo7 1541
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien. Un endomorphisme ...
exo7 1542
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien. Soit ...
exo7 1544
Déterminer la nature des transformations de \(\R^{3}\) dont les matrices dans la base canonique sont les suivantes ...
exo7 1545
Diagonaliser dans une base orthonormale (pour le produit scalaire canonique de \(\R^{3}\)) la matrice suivante : ...
exo7 1548
Soit \(\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})\) une base orthogonal d’un espace euclidien ...
exo7 1549
Soit \(r\) un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien \(E\). On dit que ...
exo7 1550
Dans l’espace vectoriel \(\R^{4}\) muni de son produit scalaire canonique, on considère l’endomorphisme ...
exo7 1552
Dans un espace euclidien \((E,<\cdot ,\cdot>)\), on considère un vecteur ...
exo7 1554
Dans un espace euclidien \(E\), on considère un vecteur unitaire \(a\), et à un r ...
exo7 1555
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 1556
Soient \(A=\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathcal{O}_n(\Rr)\) et ...
exo7 1557
Que peut-on dire d’une matrice carrée réelle à la fois symétrique et orthogonale ? Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’endom ...
exo7 1558
Quelles sont les isométries vectorielles d’un espace vectoriel euclidien qui sont diagonalisables.
exo7 1560
Déterminer une matrice diagonale \(D\in\mathcal{M}_2(\Rr)\) et une matrice orthogonale ...
exo7 1561
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1562
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1563
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension \(3\) et ...
exo7 1564
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension \(4\) et ...
exo7 1565
Soit \(A=(a_{i,j})\in \mathcal{O}(n,\R) .\) Montrer pour tout ...
exo7 1566
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1567
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1568
Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\in O (E)\) telle que ...
exo7 1569
Soit \(A = (a_{i, j}) \in O_{n} (\Rr)\). Montrer que ...