Programme de mathématiques PSI
a) Isométries vectorielles d’un espace euclidien
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Un endomorphisme d’un espace euclidien est une isométrie vectorielle s’il conserve la norme. Caractérisations par la conservation du produit scalaire, par l’image d’une base orthonormée. | Exemple : symétries orthogonales, cas particulier des réflexions. |
Groupe orthogonal. | Notation $\mathrm{O}(E)$. On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme. |
Stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable. |
exo7 1464
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) et \(g\) ...
exo7 1471
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f:E\rightarrow E\) tel que ...
exo7 1473
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 1481
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à ...
exo7 1482
Dans \(\R ^3\) muni du produit scalaire euclidien canonique, donner la matrice de la projection orthogonale sur le ...
exo7 1483
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et \(F\) un sous-espace ...
exo7 1486
Soient \(E\) un espace euclidien, \(u\) un vecteur non nul et ...
exo7 1524
On considère un espace euclidien \((E,<>)\). On rappelle que l’adjoint ...
exo7 1534
Montrer que l’endomorphisme de l’espace vectoriel euclidien canonique \(\Rr^3\) de matrice dans la base canonique ...
exo7 1545
Diagonaliser dans une base orthonormale (pour le produit scalaire canonique de \(\R^{3}\)) la matrice suivante : ...
exo7 1549
Soit \(r\) un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien \(E\). On dit que ...
exo7 1550
Dans l’espace vectoriel \(\R^{4}\) muni de son produit scalaire canonique, on considère l’endomorphisme ...
exo7 1552
Dans un espace euclidien \((E,<\cdot ,\cdot>)\), on considère un vecteur ...
exo7 1554
Dans un espace euclidien \(E\), on considère un vecteur unitaire \(a\), et à un r ...
exo7 1555
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 1557
Que peut-on dire d’une matrice carrée réelle à la fois symétrique et orthogonale ? Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’endom ...
exo7 1558
Quelles sont les isométries vectorielles d’un espace vectoriel euclidien qui sont diagonalisables.
exo7 1561
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1563
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension \(3\) et ...
exo7 1564
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension \(4\) et ...
exo7 1566
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1567
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1568
Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\in O (E)\) telle que ...
exo7 1570
Soit \(E\) euclidien, ...
exo7 1645
Soient \(\R^n\) euclidien, \(f \in \textbf{O}_n(\R)\). Montrer que ...
exo7 1984
Soit \(E\) euclidien orienté de dimension 3 et \(a\in E\).
Soit ...
exo7 1996
Soit \(G\) un sous-groupe fini de l’ensemble des isométries du plan. Montrer que ...
exo7 2670
Expliciter les 24 rotations de l’espace laissant un cube de sommets \(A_1, A_2, \dots, A_8\) invariant.
D ...
exo7 3645
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3671
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(p\), ...
exo7 3677
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, ...
exo7 3702
Soit \(\rho\) une rotation d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, et ...
exo7 3703
Soient \(f,g \in {\cal O}(\R^3)\) ayant même polynôme caractéristique.
Montrer qu’il existe ...
exo7 3704
Soit \((\vec i,\vec j,\vec k)\) une bond d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimensio ...
exo7 3705
Déterminer les sous-groupes de \({\cal O}^+(3)\) de cardinal 2,3, ou 4.
exo7 3706
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f \in \mathcal{L}(E)\) antisymétriq ...
exo7 3711
Reconnaître les endomorphismes de \(\R^3\) définis par les expressions analytiques dans la base canonique :
exo7 3733
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3734
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3735
Soit \(\vec v \in E\setminus\{\vec0\}\) et \(\lambda \in \R\). On pose pour ...
exo7 3736
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3737
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3738
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3739
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3741
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3742
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3743
Quels sont-ils ?
exo7 3744
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3745
Soit \(M \in {\cal O}(n)\).
exo7 3746
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...