Texte officiel du programme
Dans toute cette partie, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- A - Compléments d’algèbre linéaire 83
- B - Déterminants 35
- C - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 384
exo7 3622
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(A\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 3623
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((u_n)\) une suite d’endomorphismes diago ...
exo7 3624
On donne une matrice carrée réelle \(M\) d’ordre \(n\). Soient ...
exo7 3631
Soit \(E = \R_3[X]\) et \(a,b,c \in \R\) distincts. On considère les formes linéa ...
exo7 3640
On note \(f_n(x) = \cos nx\) et \(g_n(x) = \sin nx\) ( ...
exo7 3641
Soit \(E = \mathcal{M}_n(K)\). Pour \(A \in \mathcal{M}_n(K)\), on note ...
exo7 3646
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3653
Soient \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) trois sev de ...
exo7 3654
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\) ...
exo7 3655
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie, ...
exo7 3657
Soit \(E\) un \(K\)-ev, \(E_1,\dots,E_n\) des se ...
exo7 3659
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), et ...
exo7 3697
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3710
Pour tout triplet \((a,b,c)\) de réels on pose ...
exo7 3728
Soit \(A = (a_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\R)\) à coefficients tous non nuls. On note ...
exo7 3740
On définit l’application \(\varphi : A\in\mathcal{M}_n(\R) \mapsto \sum_{i,j}a_{i,j}^2\). Trouvez les matrices ...
exo7 3751
\(E = \mathcal{M}_n(\R)\) muni du produit scalaire : ...
exo7 3757
Soit \(G\) un sous groupe compact de \(GL_n(\C)\). Si ...
exo7 3767
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\) et \(M = (a_ia_j) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montre ...
exo7 3770
Pour \(P,Q \in \R_n[X]\) on pose ...
exo7 3773
Soient \(p,q\) deux projecteurs orthogonaux.
exo7 3775
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique et \(f\) l’endomorphisme de ...
exo7 3780
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique telle qu’il existe \(k \in \N^*\) tel ...
exo7 3781
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique de valeurs propres ...
exo7 3784
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques, \(B\) définie positive. Montrer ...
exo7 3790
Soient \(h \in \mathcal{L}(E)\) autoadjoint, \(\vec x_0 \in E\) unitaire, ...
exo7 3792
Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\). Montrer que ...
exo7 3803
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire défini par ...
exo7 3806
Soient \(A,B\) des matrices de \(\mathcal{M}_n(\R)\) symétriques et ...
exo7 3810
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) de valeurs propres ...
exo7 3815
Peut-on définir sur \(\R^2\) une structure euclidienne telle que l’endomorphisme ...
exo7 3816
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\C)\) et \(\lambda\in\mathrm{spec}(M)\). Montrer que ...
exo7 3817
Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients diagonaux positifs. Montrer que si l’un des coefficients diagonaux ...
exo7 3819
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^2 = -I_n\).
exo7 3821
Soient \(n \in \N^*\), \(S_n(\R)\) l’espace des matrices ...
exo7 4071
Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants :
exo7 4072
Soit \(A\) un polynôme à coefficients réels de degré 2 donné. Au polynôme \(P\) d ...
exo7 4584
Soit ...
exo7 4763
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), on pose \(\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}({}^tAA)}\). ...
exo7 4787
On considère l’espace \(\mathcal{M}_n(\C)\) muni d’une norme quelconque.
exo7 4821
Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie. On considère un endomorphisme ...
exo7 4933
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation ...
exo7 4940
On considère un plan \(P\) et une droite \(D\) sécants. Déterminer le lieu des po ...
exo7 5271
Soit \(f\) qui, à \(P\in\Rr_{2n}[X]\) associe ...
exo7 5275
Soit ...
exo7 5363
Pour \(a\), \(b\) et \(c\) deux à deux distincts ...
exo7 5364
Calculer :
exo7 5367
Résoudre le système \(MX=U\) où ...
exo7 5368
Soit \((A,B)\in(M_n(\Rr))^2\) et ...
exo7 5377
Dans le plan, on donne \(n\) points \(A_1\), ... , ...