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On considère trois fonctions de deux variables \(f\), \(g\) et ...

Représenter graphiquement et déterminer si les ensembles suivants sont des ouverts.

...

Montrer que toute reunion et toute intersection finie d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert. Que peut-on dire des intersections infinies d’ens ...

Dans \(\R^2\) ou \(\R^3\) euclidien muni d’une b.o.n., représenter les ensembles ...

Soit l’application ...

Les sous-ensembles de \(\R^2\) suivants sont-ils ouverts ? Fermés ? Compacts ? ...

On se propose de montrer que tout ouvert de \(\R\) est une réunion d’intervalles ouverts disjoints. On considère d ...

Soit \(A\) une partie d’un espace vectoriel normé \(E\).

Soit \(E\) un espace vectoriel normé. Soient \(A\) et ...

Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...

Soit \(X\) une partie de \({\Rr}^{2}\); montrer qu’elle est fermée si et seulemen ...

Soit \(\left( K_{n}\right) _{n\in \Nn^{*}}\) une suite d’ensembles fermés bornés de ...

Montrer que l’intersection de deux ensembles ouvert est ouvert, que l’union de deux ensembles fermés est fermée, que cela reste vrai pour un nombre ...

Soit \(E\subset {\Rr}^{2}\) un ensemble ; on pose ...

Soit \(A\) une partie bornée de \({\Rr}^{2},\) montrer que ...

Soit \(C\) une partie convexe de \({\Rr}^{2},\) montrer que ...

Classer (pour l’inclusion) les parties : \(\overline{A\cap B}, \overline{A} \cap \overline{B}\) et ...

Dans l’espace vectoriel normé \(\R\), chacune des parties suivantes est-elle ouverte ? fermée ?  

...

Déterminer l’adhérence de chacune des parties de \(\R\) suivantes :

Soient \(A\) et \(B\), deux parties d’un evn ...

Soit \((u_n)_{n \geq 1}\) une suite réelle. \(\forall n \geq 1\), on pose ...

Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...

Soit \(E\) un espace vectoriel normé, et \((a,a')\in E^2\), ...

Quelles sont toutes les normes sur le \(\R\)-espace vectoriel \(\R\) ?

On ...

Soit \(A\) l’ensemble des fonctions continues sur \([0,1]\) telles que ...

On sait que \(l^1\) est inclus dans \(l^2\) (au fait pourquoi ?) mais n’est pas f ...

Soit \(f\) une application différentiable de \(]a,b[\subset\Rr\) dans ...

Soit \((A_n)\) (\(n\in\N\)) une suite de parties ouvertes de ...

Soit \(D\) un sous-ensemble de \(\R^n\).

\({\cal O}_n(\Q)\) est-il dense dans \({\cal O}_n(\R)\) ?

Soit \(A =\{ n+p\sqrt2 \text{ tq } n,p \in \N,\ n+p\sqrt2 > 0,\ n^2-2p^2 = 1\}\). Montrer que ...

Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) continue, \(u_0 \in {[0,1]}\) et ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que ...

Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...

Soient \(A,B\) deux parties d’un espace vectoriel normé disjointes. Si ...

Soit \(A\) une partie de \(\R^n\) non vide. On note pour ...

Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(A \subset E\) borné, ferm ...

Soit \(K\) un compact convexe de \(\R^2\) d’intérieur non vide. Soit ...

Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ?

Soient \(A,B\) deux parties non vides d’un evn \(E\). On note ...

Soit \(F\) un fermé de \(\R^n\) et ...

Soit \(\cal O\) un ouvert non vide d’un ev normé \(E\). Montrer que ...

On pose \(E=C([0,1],\R)\) et on le munit de la norme \(N_{\infty}\). Soit ...

Les solutions de l’équation \(u^2=\mathrm{id}_{\R^n}\) pour  ...

Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P \in E\), on pose : ...

Soit \(P\in\C[X]\) et \(U\) un ouvert de \(\C\) ...

Soit \(E\) un \(\R\)-evn et \(f \in E^*\).

Soit \(u\) une application linéaire de \(\R^n\) dans  ...

Soit \(E\) un evn et \(A \subset E\). On suppose que ...

Soit \(E\) un evn réel et \(H\) un hyperplan de  ...