Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
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Série entière de variable réelle, de variable complexe. Lemme d’Abel : si la suite $\bigl(a_n z_0^n\bigr)$ est bornée alors, pour tout nombre complexe $z$ tel que $\lvert z\rvert < \lvert z_0\rvert$, la série $\sum a_n z^n$ est absolument convergente. | |
Rayon de convergence $R$ défini comme la borne supérieure dans $\mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ de l’ensemble des réels positifs $r$ tels que la suite $(a_n r^n)$ est bornée. | La série $\sum a_n z^n$ converge absolument si $\lvert z\rvert < R$, et elle diverge grossièrement si $\lvert z\rvert > R$. |
Disque ouvert de convergence. Intervalle ouvert de convergence. | |
Avec $R_a$ (resp. $R_b$) le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$, (resp. $\sum b_n z^n$) : – si $\lvert a_n\rvert \leqslant \lvert b_n\rvert$ à partir d’un certain rang, alors $R_a \geqslant R_b$ ; – si $a_n = O(b_n)$, alors $R_a \geqslant R_b$ ; – si $a_n \sim b_n$, alors $R_a = R_b$. | Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, $R(\sum n^\alpha x^n) = 1$. Le résultat s’applique en particulier lorsque $a_n = o(b_n)$. |
Application de la règle de d’Alembert pour les séries numériques au calcul du rayon. | La limite du rapport $\dfrac{\lvert a_{n+1}\rvert}{\lvert a_n\rvert}$ peut être directement utilisée. |
Somme et produit de Cauchy de deux séries entières. |
exo7 4595
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4596
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4597
Montrer que l’équation \(3xy' + (2-5x)y = x\) admet une solution développable en série entière autour de ...
exo7 4598
En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en ...
exo7 4599
On pose \(f(x) = \frac{\Arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\).
exo7 4600
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\strut C_{2n}^n}\).
exo7 4601
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!\,x^{2n+1}}{1.3.5\dots(2n+1)}\).
exo7 4602
On note \(T_n\) le nombre de partitions d’un ensemble à \(n\) éléments.
exo7 4603
Soit \((a_n)\) la suite réelle définie par : \(a_0 = 1\), ...
exo7 4604
Pour \(|x| < 1\) on pose : \(Z(x) = \sum_{n=1}^\infty \zeta(2n)x^n\).
M ...
exo7 4605
On note \(\zeta_i(n) = \sum_{k=0}^\infty \frac1{(2k+1)^n}\) et ...
exo7 4606
Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...
exo7 4607
A l’aide d’un développement en série entière, montrer que ...
exo7 4608
On admet que \(\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} = \frac{\pi^2}6\). Calculer ...
exo7 4609
Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).
exo7 4610
Montrer que pour \(x \in {]-1,1[}\) : ...
exo7 4612
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\). Montrer, ...
exo7 4613
Soit \(f(z) = \sum a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\) telle que pour tout ...
exo7 4615
Soit \(P\in\C[X]\) ayant pour racines \(z_1,\dots,z_k\) de multiplicités ...
exo7 4616
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence e ...
exo7 4617
Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et ...
exo7 4618
Soit \(A\) l’ensemble des suites \((a_n)\) de complexes telles que la série entiè ...
exo7 4619
Soit \(z_1,\dots,z_p\in \C\), \(p_1,\dots,p_p \in \R^+\) tels que ...
exo7 4620
Soit \(D\) le disque ouvert de \(\C\) de centre ...
exo7 4621
Développer en série entière \(f\) : \(z \mapsto z(1-z)^{-2}\). Montrer que ...
exo7 5745
Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :
exo7 5749
Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...
exo7 5750
Soit \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\) une série entière de rayon \(R > 0\) et te ...
exo7 5751
Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...
exo7 5752
Calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n\) pour ...
exo7 5754
Pour \(n\) entier naturel, on pose ...
exo7 5756
Pour \(x\) réel, on pose \(F(x) =e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\). En développan ...
exo7 5757
On pose \(a_0 = 1\) et \(b_0 = 0\) puis pour tout entier naturel ...
exo7 5759
Soient \((a_n)_{n\in\Nn}\) et \((b_n)_{n\in\Nn}\) deux suites de réels strictemen ...
exo7 5760
Soit \((a_n)_{n\in\Nn}\) une suite à valeurs dans \(\{-1,1\}\). Pour ...
exo7 5761
Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on pose \(f(x) =\tan x\). ...
exo7 5762
Développer en série entière \(F(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\sin(tx)\;dt\) et en déduire que pour tout réel ...
exo7 5763
Soit \(I_n\) le nombre d’involutions de ...
exo7 7544
Déterminer le rayon de convergence de la série \(\sum 2^{2n}z^{2n}\).
exo7 7545
Soit \(\sum a_n z^n\) et \(\sum b_nz^n\) deux séries entières de rayon de converg ...
exo7 7547
Montrer que pour tout entier naturel \(k\) et tout \(z\in\Delta\), ...
exo7 7564
Développer si possible en séries entières au voisinage de \(0\) les applications
exo7 7567
Soit \(c\) un point de \(\Cc^-\).
exo7 7568
On définit les nombres de Bernouilli comme les nombres complexes \(B_n\) tels que sur le domaine de convergence ...
Rayon de convergence de séries sentières
- \question{ ...
Rayon et domaine de convergence d'une série entière
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Résolution d'une équation différentielle
Soit l’équation différentielle \((E)\) définie pour \(\alpha>0\) par : ...
Séries entières solutions d'équations différentielles
Exprimer sous forme d’une série entière la solution de l’équation différentielle \((E)\): ...
Vrai ou faux
Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une justification, le cas échéant avec un contre exemple, est attendue. ...