Texte officiel du programme
La visualisation des surfaces grâce à un outil informatique ou par l’étude de sections planes sont privilégiées. Les exemples peuvent être choisis parmi les quadriques, mais la définition et la classification de celles-ci sont hors programme. De la même façon, l’étude des surfaces réglées peut s’appuyer sur des exemples usuels (cônes, cylindres, surfaces développables engendrées par les tangentes à une courbe paramétrée de $\mathbb{R}^3$...) mais toute connaissance spécifique est hors programme. Toujours dans cet esprit, on peut fournir divers exemples de courbes tracées sur une surface (lignes de pente, contours apparents coniques ou cylindriques...). De manière générale, on attend des étudiants une certaine familiarité avec la représentation mathématique des surfaces en lien avec leurs propriétés géométriques (par exemple qu’ils sachent obtenir rapidement un paramétrage de surface réglée, une équation cartésienne de surface de révolution...) même si aucun point du programme ne précise théoriquement ces aspects.
- a) Surfaces paramétrées 21
- b) Surfaces définies par une équation cartésienne 26
- c) Exemples de surfaces 33
- d) Courbes de l’espace définies par un système d’équations cartésiennes 7
exo7 1919
Soient \(a,R>0\). Dans le plan \((yOz)\), soit ...
exo7 1922
Quel est le volume délimité par deux cylindres de révolution d’axes \((Ox)\) et ...
exo7 1924
Identifier les ensembles suivants et calculer leur aire s’ils sont dans \(\R^2\), leur volume s’ils sont dans ...
exo7 1926
Théorème de Guldin Soit \(D_0\) un domaine tracé dans le demi-plan ...
exo7 2616
Tracer le graphe de la fonction \(f\colon \R^2 \longrightarrow\R\) définie par ...
exo7 2629
On demande à un étudiant de trouver l’équation du plan tangent à la surface d’équation \(z=x^4-y^2\) au point ...
exo7 2630
Trouver les points sur le paraboloı̈de \(z=4x^2 +y^2\) où le plan tangent est parallèle au plan ...
exo7 2631
Soit \(C\) le cône d’équation \(z^2= x^2+y^2\) et ...
exo7 2644
Déterminer l’équation du plan tangent à la surface de niveau \[\sin(\pi xy)+\sin(\pi yz) =1,\] au point de coordo ...
exo7 2655
exo7 4396
Calculer le volume des domaines suivants :
exo7 4398
Dans le plan \(Oxy\) on considère la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...
exo7 4928
Soit \({\cal E}\) l’ellipse d’équations : ...
exo7 4930
Soit \(D\) la droite d’équations ...
exo7 4931
Soit \({\cal P}\) le paraboloïde d’équation \(z= xy\). Montrer que par tout point ...
exo7 4932
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe d’équations : ...
exo7 4934
Équation d’un cône
Déterminer les réels \(\lambda\) tels que la surface d’équation : ...
exo7 4935
Soit \({\cal E}\) un ellipsoïde d’équation ...
exo7 4936
Soit \({\cal E}\) un ellipsoïde d’équation ...
exo7 4938
On considère un point \(F\), un plan \(P\) ne passant pas par ...
exo7 5047
Équation de la surface de révolution engendrée par la rotation de \(\Gamma\) autour de ...
exo7 5048
Soit la courbe d’équations dans \(\R^3\) : ...
exo7 5049
On considère la surface \({\cal S}\) d’équations paramétriques : ...
exo7 5050
Dessiner la surface \({\cal S}\) d’équations paramétriques : ...
exo7 5051
Soit \({\cal S}\) une surface d’équation ...
exo7 5052
Que dire d’une surface \({\cal S}\) telle que toutes les normales sont concourantes ? (cf ex. ...
exo7 5053
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation cartésienne \(z^2-x^2-y^2 = 1\).
exo7 5054
Soit \({\cal S}\) la surface d’équations paramétriques : ...
exo7 5055
Soit \(\mathcal{C}\) le cercle intersection de la sphère d’équation ...
exo7 5056
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation cartésienne : ...
exo7 5057
Soit \({\cal S}\) une surface d’équation cartésienne \(z=f(\rho)\) où ...
exo7 5058
Soient \({\cal S}_1\), \({\cal S}_2\) les surfaces d’équations ...
exo7 5059
Soit \({\cal S}\) la sphère de centre \(A=(a,0,0)\) et de rayon ...
exo7 5060
Soit \(A=(0,1,0)\) et \({\cal S}\) la surface constituée des cercles verticaux de ...
exo7 5061
On considère la droite \(\Delta\) d’équations : \(x=a\), ...
exo7 5062
Soit \((\Gamma)\) : ...
exo7 5514
Soit \(M(x,y,z)\) un point de \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé. Détermin ...
exo7 5826
Déterminer la quadrique contenant le point \(A(2,3,2)\) et les deux paraboles ...
exo7 5827
Démontrer que toute équation du second degré symétrique en \(x\), \(y\) et ...
exo7 5829
Equation du cône de sommet \(S\) et de directrice \((\mathcal{C})\) dans les cas ...
exo7 5830
Trouver une équation du cône de sommet \(S\) circonscrit à la surface ...
exo7 5832
Montrer que l’arc paramétré ...
exo7 5833
Equation cartésienne du cylindre \((\mathcal{C})\) de direction ...
exo7 5835
Equation cartésienne du cylindre de révolution \((\mathcal{C})\) de rayon \(R\) e ...
exo7 5836
Trouver les plans tangents à l’ellipsoïde d’équation \(x^2+2y^2+3z^2 = 21\) qui sont parallèles au plan d’équation ...
exo7 5837
Trouver les plans tangents à la surface \((\mathcal{S})\) d’équation \(x-8yz=0\) ...
exo7 5838
Equation du cylindre de révolution \((\mathcal{C})\) d’axe la droite d’équations ...
exo7 5915
Soit \(\mathcal{S}\) la surface d’équation \(x^4-x^3+xy-y^2-z=0\).
exo7 5916
Trouver toutes les droites tracées sur la surface d’équations \(x^3+y^3+z^3=1\) puis vérifier que ces droites sont ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...