Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie
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Cette section « boîte à outils » complète l’enseignement du lycée sur un certain nombre de points importants pour la suite :
- calculs de sommes et de produits, dont la formule du binôme ;
- résolution de petits systèmes linéaires par l’algorithme du pivot ;
- manipulation d’inégalités et résolution d’inéquations ;
- utilisation du cercle trigonométrique, manipulation des lignes et fonctions trigonométriques.
- a) Sommes et produits 139
- b) Résolution de petits systèmes linéaires par la méthode du pivot 59
- c) Inégalités 111
- d) Trigonométrie 175
exo7 1866
Soient \((a_i)_{1\leq i\leq n}\) et \((b_i)_{1\leq i\leq n}\) deux familles de ...
exo7 1884
Soit \((E,N)\) un espace vectoriel normé. Montrer : ...
exo7 1885
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, et \((a,a')\in E^2\), ...
exo7 1938
Calculer les sommes des séries suivantes, en montrant leur convergence :
exo7 1950
Soit \(f\) une fonction intégrable au sens de Riemann périodique de période ...
exo7 1958
Dans l’exercice suivant, on considère des couples de deux droites \(D_1\) et ...
exo7 1960
On considère le triangle \(ABC\) dont les côtés ont pour équations ...
exo7 1961
On considère dans \(P\) trois points \(A\), ...
exo7 1975
Soient \((D_{i} : u_{i}x + v_{i}y + h_{i} = 0)_{i = 1 \ldots 3}\) trois droites du plan affine. Montrer qu’elles s ...
exo7 1994
Calculer les angles :
exo7 20
Soit \(z\) un nombre complexe de module \(\rho\), d’argument ...
exo7 2019
Donner une condition sur \(m\) pour que les trois plans suivants se coupent sur une même droite. ...
exo7 2034
On considère le point \(A (-2,4,1)\), les vecteurs ...
exo7 2038
Soit \(f\) la transformation de l’espace définie analytiquement par ...
exo7 2049
Tracer la courbe paramétrée définie par : ...
exo7 2089
Calculer les primitives suivantes: ...
exo7 2090
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs: ...
exo7 21
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels. Mettre le nombre complexe ...
exo7 220
En utilisant la fonction \(x\mapsto(1+x)^n\), calculer : ...
exo7 221
Démontrer que \(C_n^kC_{n-k}^{p-k}=C_p^kC_n^p\) (pour \(0\le k \le p \le n\)). En ...
exo7 222
En utilisant la formule du binôme, démontrer que :
exo7 223
Démontrer que \(C_n^p=C_{n-1}^p+C_{n-1}^{p-1}\) pour \(1\le p \le n-1\).
exo7 224
Montrer que, pour \(p\) et \(n\) entiers naturels non nuls tels que ...
exo7 225
Montrer que: \[\sum_{k=0}^{p} C_n^kC_{n-k}^{p-k}= 2^pC_n^p ,\] où \(p\) et ...
exo7 226
Soient \(n\), \(p\) et \(q\) des entiers naturel ...
exo7 227
Soient \(m,n\in\Nn^*\) et \(p\in\Nn\). En utilisant la formule du binôme, démontr ...
exo7 228
En utilisant la formule du binôme montrer : ...
exo7 230
Démontrer les formules suivantes :
exo7 2318
Sans calculer les intégrales, montrer que \[\int_0^{\pi /2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi /2} \cos^n x dx.\]
exo7 233
En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que \(\sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k C_n^k = 0\). En déduire la ...
exo7 234
Soient \(0 \leq p \leq n\).
exo7 244
Montrer par récurrence sur \(n\) que si ...
exo7 2462
Systèmes linéaires.
exo7 2478
Résoudre ...
exo7 259
On considère le nombre \(m = 2^np\), dans lequel \(n\) désigne un entier naturel ...
exo7 2658
Le but de cet exercice est de montrer que \[\forall n\geq3 \quad \pi(2n+1)\geq \ln2\times{2n+1 \over \ln(2n+1)}\] ...
exo7 2689
Montrer que \[\forall x\in\R,\qquad |\sin x| \leq |x|,\] ...
exo7 2693
Un train qui ralentit avec une décélération constante met 20s pour parcourir le premier km et 30s pour parco ...
exo7 2696
On dispose d’un oscilloscope à deux voies. On applique sur la voie X une tension sinusoı̈dale de pulsation ...
exo7 2697
Sur l’écran d’un oscilloscope on observe la courbe dont les équations paramétriques sont les suivantes: ...
exo7 270
Pour tout couple de nombres réels \((x,y)\) montrer, par récurrence, que pour tout ...
exo7 2703
Soit l’arc paramétré défini par \[x = {t-\sin t \over t^2}, \quad y = {1-\cos t \over t^2}.\] Montrer qu’il peut ...
exo7 2704
Épicycloı̈des, hypocycloı̈des -
Soit \(R >0\) un réel, et ...
exo7 2732
En appliquant l’algorithme de Gauss, résoudre le système linéaire suivant : ...
exo7 2734
Résoudre le système : ...
exo7 2737
Un cycliste s’entraîne chaque dimanche en faisant l’aller-retour d’Issy à Labat. Le trajet Issy-Labat n’est pas horizontal : il y a des montées, de ...
exo7 2768
Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, en inversant la matrice des coeffic ...
exo7 2769
Résoudre le système suivant de \(5\) équations à \(6\) inconnues : ...
exo7 2871
Soit \(u_n\), \(n\geq1\) des nombres complexes. Montrer: ...
exo7 2876
Établir la convergence et évaluer les produits infinis suivants: ...