Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
a) Existence de bases
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Un espace vectoriel est dit de dimension finie s’il possède une famille génératrice finie. | |
Si $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ engendre $E$ et si $(x_i)_{i\in I}$ est libre pour une certaine partie $I$ de $\{1,\dots,n\}$, alors il existe une partie $J$ de $\{1,\dots,n\}$ contenant $I$ pour laquelle $(x_j)_{j\in J}$ est une base de $E$. | Existence de bases en dimension finie. Théorèmes de la base extraite (de toute famille génératrice on peut extraire une base), de la base incomplète (toute famille libre peut être complétée en une base). |
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
exo7 1000
Pour \(k=2,3,4\) montrer que \(V_{k}\) est un s.e.v. de ...
exo7 1004
Soit ...
exo7 1005
Soit \(E =\R^3\). On définit le système ...
exo7 1012
Déterminer une base de \(\left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y + z = 0\right\}\).
exo7 1015
Soit \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie et \(F\) et ...
exo7 1016
Montrer que tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie.
exo7 1025
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et ...
exo7 1057
Montrer que \(F=\{ M\in M_2({\Rr }) ; tr(M)=0\}\) est un sous-espace vectoriel de ...
exo7 1110
Montrer que l’espace des formes bi-linéaires sur \(\R^{2}\) est un espace vectoriel. En donner une base.
exo7 1656
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 2114
Soit \(G\) un groupe vérifiant ...
exo7 3319
Soit \(0=x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1\) une subdivision de \([0,1]\) et ...
exo7 3352
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(\cal A\) une sous-algèbre de ...
exo7 3421
Soient \(f_1, \dots, f_n\), \(n\) formes linéaires indépendantes sur un ev ...
exo7 3628
Soit \(E = K_n[X]\). Montrer que la famille \({\cal F} = (f_0,\dots,f_n)\) est u ...
exo7 3630
Soit \(E = \R_3[X]\). On considère les formes linéaires : ...
exo7 3638
Soient \(f_1,\dots,f_n : \R \to \R\) \(n\) fonctions linéairement indépendantes. ...
exo7 3639
Soit \(f : {\R^2} \to \R\). On dit que \(f\) est polynomiale si elle est de la fo ...
exo7 3642
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) à termes réels telles que pour tout ...
exo7 3646
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3647
Soit \(E\) un \(K\)-ev. On suppose qu’il existe ...
exo7 3649
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 4746
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(({\vec u}_n)\), ...
exo7 5173
Dans \(E=\Rr^4\), on considère ...
exo7 5630
Sur \(E =\Rr_3[X]\), on pose pour tout \(P\in E\), ...
exo7 6188
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\Cc\) de boule unité fermée ...
exo7 901
Dans \(\Rr^4\) on considère l’ensemble \(E\) des vecteurs ...
exo7 979
Montrer que les vecteurs ...
exo7 980
Soient \(\vec{v_1}(1,2,3,4), \vec{v_2}(2,2,2,6), \vec{v_3}(0,2,4,4), \vec{v_4}(1,0,-1,2), \vec{v_5}(2,3,0,1)\) d ...
exo7 981
Montrer que les vecteurs \(v_1=(0,1,1)\), \(v_2=(1,0,1)\) et ...
exo7 989
Dans \(\mathbb{R}^4\), on considère les familles de vecteurs suivantes
...
exo7 993
Dans l’espace vectoriel \(\mathcal{P}_2\) des polynômes de degré \(\leq 2\), on c ...
exo7 998
Soit \(a\in \R .\) On pose, pour tout \(p\in \Nn : A_p(X)=(X-a)^p\) et ...
Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$
On se place dans \(\mathbb{R}^4\). On considère ...