Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 1080
Soient \((x_n)_{n \in \N}\) et \((y_n)_{n \in \N}\) deux suites réelles, vérifian ...
exo7 1085
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R ^3)\) telle que \(f^3=-f\) et ...
exo7 1086
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), ...
exo7 1087
Soit \(\Rr^2\) muni de la base canonique \(\mathcal{B}=(\vec{i}, \vec{j})\). Soit ...
exo7 1088
Soit \({\Rr}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
exo7 1089
Soient \(A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \cr 1 & 0 \cr \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1090
Soit \(\varphi\) une application linéaire de \({\Rr}^2\) dans lui-même telle que ...
exo7 1091
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(\varphi \in \mathcal{L} (E) .\)
exo7 1092
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et ...
exo7 1093
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f\) une applica ...
exo7 1094
Soit \(f\) l’application de \(\Rr_n[X]\) dans ...
exo7 1095
Soit \((e_1,e_2,e_3)\) une base de l’espace \(E\) à trois dimensions sur un corps ...
exo7 1096
Soit \(E\) un espace à \(n\) dimensions et \(f\) ...
exo7 1098
Soit \(M_{\alpha , \beta }\) la matrice : ...
exo7 1099
Soient ...
exo7 1100
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1102
Même chose avec ...
exo7 1106
Soient \(A = \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1107
On considère l’espace \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) des matrices carrées ...
exo7 1108
On note \(\R_{n}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 1109
Dans chacun des cas ci-dessous, dire si l’application \(\phi\) de ...
exo7 1110
Montrer que l’espace des formes bi-linéaires sur \(\R^{2}\) est un espace vectoriel. En donner une base.
exo7 1120
La famille \((2, 1, 0)\), \((1, 3, 1)\), ...
exo7 1151
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\) et ...
exo7 1156
Soit \(S\) la matrice \(5 \times 5\) à coefficients réels : ...
exo7 1174
On considère l’application \(f\) de \(\mathbb{R}^5\) dans ...
exo7 1184
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\) des éléments ...
exo7 1189
Soient \(v_1=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1190
Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), et ...
exo7 1339
Soient \(E\) un espace vectoriel réel de dimension 2 et \((e_1,e_2)\) une base de ...
exo7 1355
Soient \(a,b\in\Cc\). L’application \(f:\Cc\to\Cc,z\mapsto iz-\overline{z}\) est- ...
exo7 1379
Soient \(A=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) et ...
exo7 1380
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel et ...
exo7 1383
Soient \(E\) un \(\Rr\)-ev et ...
exo7 1400
On note \(R_n\) la rotation du plan de centre \(O\), d’angle ...
exo7 1466
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et ...
exo7 1471
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f:E\rightarrow E\) tel que ...
exo7 1479
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1490
Soit \(E\) un espace euclidien (de dimension finie), \(F\) et ...
exo7 1518
Retrouver la matrice (dans la base indiquée sur le premier dessin) de la transformation subie par chacun des Shadocks ci-dessous. ...
exo7 1519
On considère l’application suivante : ...
exo7 1520
On considère l’application \(u\) suivante : ...
exo7 1523
Soit \(f\in\mathrm{End}(\R^{3})\) tel que \(f^{2}=0\). Montrer qu’il existe ...
exo7 1525
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1543
Soit \(f\) une transformation orthogonal d’un espace euclidien \(E\). Montrer que ...
exo7 1544
Déterminer la nature des transformations de \(\R^{3}\) dont les matrices dans la base canonique sont les suivantes ...
exo7 1551
A — Soit \(E\) un espace vectoriel et \(u\) et ...
exo7 1552
Dans un espace euclidien \((E,<\cdot ,\cdot>)\), on considère un vecteur ...
exo7 1554
Dans un espace euclidien \(E\), on considère un vecteur unitaire \(a\), et à un r ...
exo7 1557
Que peut-on dire d’une matrice carrée réelle à la fois symétrique et orthogonale ? Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’endom ...