Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 2033
On considère les droites et les plans suivants dont les équations sont données dans le repère ...
exo7 2034
On considère le point \(A (-2,4,1)\), les vecteurs ...
exo7 2036
Soit \(P\) un plan muni d’un repère ...
exo7 2037
On considère \(S_1\) la transformation du plan définie par le système d’équations suivant :
...
exo7 2038
Soit \(f\) la transformation de l’espace définie analytiquement par ...
exo7 2039
Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d’équation \(2x+2y-z=1\).
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2043
Tout ce problème se situe dans l’espace euclidien tridimensionnel muni d’un repère orthonormé direct ...
exo7 2044
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((0,\vec{\strut\imath},\vec{\strut\jmath},\vec{\strut k})\). ...
exo7 2045
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points distin ...
exo7 2114
Soit \(G\) un groupe vérifiant ...
exo7 2363
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2365
Soit \(X = \Rr[x]\) l’ensemble des polynômes. Pour ...
exo7 2425
VRAI ou FAUX
exo7 2427
On note \(\R^n\) l’ensemble des \(n\)-uplets ...
exo7 2428
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F, G\) deux sous-espaces de ...
exo7 2429
Soit \(E = \R[X]_n\) (polynômes de degré \(\le n\)), et ...
exo7 2430
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \((u_n)_{n \ge 0}\). Pour tout ...
exo7 2431
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des formes linéaires sur \(C^\infty(\R)\) : ...
exo7 2432
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes de \(C^\infty(\R)\) ( ...
exo7 2435
Soit \(E\) un espace vectoriel réel et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 2436
Soit \(e = (e_1, e_2, e_3)\) la base canonique de \(\R^3\) et ...
exo7 2441
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\), et ...
exo7 2447
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment dérivables à valeurs dans ...
exo7 2450
Dans \(\R^4\), on note \(v_1 = {\null}^t(1, 2, 0, -1)\), ...
exo7 2459
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2.
exo7 2469
Soit \(a,b,c\) trois réels et \(u\) l’endomorphisme de ...
exo7 2473
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2475
Trouver toutes les matrices de \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) qui vérifient
exo7 2476
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2498
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2564
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2571
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) vérifiant ...
exo7 2576
(9 points) Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la ...
exo7 2579
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2585
Soient \(A\) et \(B\) des matrices non nulles de ...
exo7 2604
Soit \(\theta\in \R\), on considère l’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 2607
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 2615
Questions préliminaires :
exo7 2697
Sur l’écran d’un oscilloscope on observe la courbe dont les équations paramétriques sont les suivantes: ...
exo7 2705
Montrer que les deux droites de l’espace d’équations paramétriques \({x = 2+2t}, {y =2+4t}, {z=2-4t}\) et ...
exo7 2731
Décider, pour chacun des systèmes d’équations aux inconnues \(x_1\), \(x_2\), ...
exo7 2736
Les vecteurs complexes \((z, w)\) et \((z', w')\) sont liés par la formul ...
exo7 2740
On munit \(\mathbb{R}^2\) d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). Montr ...
exo7 2741
Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb{R}^4\) dans ...
exo7 2742
Soit l’application \(f~:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3\) donnée par : ...
exo7 2743
Soit \(f\) une application linéaire surjective de \(\mathbb{R}^{4}\) dans ...
exo7 2761
Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par ...
exo7 2765
Soit la matrice ...
exo7 2771
Calculer une base de l’image et une base du noyau de l’application linéaire ...