Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
b) Dérivées partielles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivées partielles en un point d’une fonction $f$ définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Notations $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$. L’existence des dérivées partielles n’entraîne pas la continuité. |
Fonction de classe $\mathscr{C}^1$ sur un ouvert. | Définition par la continuité des dérivées partielles. La notion de fonction différentiable est hors programme. |
Développement limité à l’ordre 1 au point $(x_0,y_0)$ d’une fonction $f$ de classe $\mathscr{C}^1$ : $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)k+o(\lVert(h,k)\rVert)$. | Démonstration hors programme. On met en évidence l’idée de l’approximation linéaire de $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)$ et l’interprétation de $z-z_0=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)$ comme équation du plan tangent en $(x_0,y_0)$ à la surface d’équation $z=f(x,y)$. |
Gradient d’une fonction de classe $\mathscr{C}^1$. | Notation $\nabla f(x_0,y_0)$. |
Expression du développement limité à l’aide du gradient. | Le gradient de $f$ en $(x_0,y_0)$ définit la direction dans laquelle $f$ croît le plus vite. |
Lire une vallée quadratique
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Optimisation simple
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Points critiques et extremums de $f(x,y)=x^2y^3+(y-1)^2$
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Points critiques et extremums de $f(x,y)=xye^{-(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums locaux
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Descripti ...
Solution d'une EDP
Soient deux fonctions \(g,h\) d’une variable réelle, de classe \(\mathcal{C}^2\) ...
Une rétropropagation de bout en bout
On considère un réseau à une entrée, un neurone caché et un neurone de sortie : ...
Vrai ou Faux
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(\mathcal{D}\) de ...
Étude d'une fonction
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction définie par ...
Étude d'une fonction de deux variables
Soit la fonction \(f: \R^2 \to \R\), ...
Étude d'une fonction de deux variables
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Étude d'une rétropropagation
On considère le réseau de neurones à deux couches suivant où la fonction d’activation de la première couche est ...
Étude de la classe $\mathcal{C}^1$ de $f(x,y)=e^{-1/(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Étude de la classe $\mathcal{C}^1$ de $f(x,y)=x^2y^2\ln(x^2+y^2)$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Étude de la différentiabilité de $f(x,y)=\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Étude des points critiques d'une fonction de deux variables
On pose \[f(x,y)= x\,(x+1)^2 - y^2.\]