Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
b) Produit scalaire
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Norme euclidienne dans $\mathbb{R}^3$. Définition géométrique du produit scalaire. | |
Bilinéarité, symétrie, expression dans une base orthonormée. | Les démonstrations sont hors programme. |
exo7 5497
Soit \(P\in\Rr_3[X]\) tel que \(\int_{-1}^{1}P^2(t)\;dt=1\). Montrer que ...
exo7 5517
Angle des plans \(x+2y+2z=3\) et \(x+y=0\).
exo7 5560
Soit \(a\) un réel strictement positif donné. Trouver le minimum de ...
exo7 5774
Soit \(E=\Rr[X]\). Pour \((P,Q)\in E^2\), on pose ...
exo7 5777
Soit \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel muni d’une norme, notée ...
exo7 5778
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et \((e_1,...,e_n)\) une famille de ...
exo7 5780
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel.
Pour \(n\in\Nn^*\) et ...
exo7 5788
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) non nulle. Soit ...
exo7 5789
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension ...
exo7 5790
Montrer que pour toute matrice carrée \(A\) réelle de format \(n\), on a ...
exo7 5791
Soit \(A\) une matrice orthogonale. Montrer que la valeur absolue de la somme des coefficients de ...
exo7 5858
Déterminer ...
exo7 5862
On pose \(\forall X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\), ...
exo7 5899
Déterminer la différentielle en tout point de ...
exo7 5901
\(E =\Rr^n\) est muni de sa structure euclidienne usuelle. Montrer que ...
exo7 6059
Soit \(N\) un entier \(\geq1\), et \(E\), l’espa ...
exo7 6208
Montrer que pour tout \(x\in\Rr^n\), ...
exo7 6209
Sur \(M_n(\Rr)\) on note \(|A|=\sup_{||x||\leq1}||Ax||\) la norme opérateur de la ...
exo7 6255
Soit \(H\) un espace préhilbertien sur \(\Rr\), et ...
exo7 6257
Soit \(B\) une application bilinéaire de \(E\times F\) dans ...
exo7 6310
Déterminer le point \(p\) du plan \(\Sigma = \{(x,y,x+y) \; ; \; x,y\in \Rr\}\) q ...
exo7 6368
Soit \(a>0\) et soit \(f: \Rr \times \Rr^n \to \Rr^n\) une application de clas ...
exo7 6395
Soit \(f\) une application qui préserve les rapports de longueur : ...
exo7 6396
Soit \(A B C\) un triangle isocèle en \(A\) non equilatéral, le but de cet exerci ...
exo7 7134
Soit \(\Gamma\) un cercle, \(O\) son centre et ...
exo7 7154
Soient \(A\) et \(B_0\) deux points et soit ...
exo7 7249
Soient \(P\), \(Q\), \(R\) trois points du plan. ...
exo7 7262
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. On considère l ...
exo7 7263
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. Soient ...
exo7 7264
Soit \(E\) un plan euclidien orienté muni d’un repère orthonormé direct ...
exo7 7266
Soit \(ABC\) un triangle dans un plan euclidien orienté \(E\). On notera ...
exo7 7284
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle de centre \(O\) et de rayon ...
exo7 7441
Soit \(x_i\) \(n\) nombres réels. Montrer que ...
exo7 7486
Étant donné un segment de longueur \(a\) contruire un segment de longueur ...
exo7 7505
On munit le plan affine euclidien \((P,<,>)\) d’un repère orthonormé ...
exo7 7506
On identifie le plan affine \(\R^2\) muni du produit scalaire standard à l’espace vectoriel ...
exo7 7836
Résoudre dans \(\Zz^3\) l’équation \(a^2+b^2=c^2\).
exo7 794
Soient \(f\) et \(g\) de \({\Rr}^{+}\) dans ...
Limite d'une suite dans $\R^2$
Pour tout \(k \in \N\), on pose ...
Régression linéaire
On dispose d’observations \((x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\). On cherche les "meilleurs" coefficients ...