Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
d) Produit mixte dans l’espace orienté
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Définition du produit mixte de trois vecteurs : $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=(\vec{u}\wedge\vec{v})\cdot\vec{w}$. | Interprétation de $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ comme volume orienté du parallélépipède construit sur les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$. |
Trilinéarité, antisymétrie, expression dans une base orthonormée directe. | Les démonstrations sont hors programme. |
Condition de coplanarité de trois vecteurs. |
exo7 1983
Montrer que ...
exo7 1984
Soit \(E\) euclidien orienté de dimension 3 et \(a\in E\).
Soit ...
exo7 1985
Soient \(a\) et \(b\) deux vecteurs de ...
exo7 1986
Soit \(R\) le rotation vectorielle d’angle \(\theta\) et d’axe orienté par le vec ...
exo7 1990
On considère l’espace vectoriel euclidien canonique et orienté \(\Rr^3\). Soient ...
exo7 2010
Les quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 2016
On considère les cinq points suivants: \(A(1,2,-1)\), \(B(3,2,0)\), ...
exo7 2044
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((0,\vec{\strut\imath},\vec{\strut\jmath},\vec{\strut k})\). ...
exo7 3694
Soient \(\vec u,\vec v,\vec w,\vec t\) quatre vecteurs d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Dém ...
exo7 3695
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3696
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
Trouver ...
exo7 3697
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3698
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3699
Soient \(\vec u,\vec v,\vec w\) trois vecteurs d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
On d ...
exo7 3700
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Trouver les applications ...
exo7 3701
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \(\vec u \in E\) ...
exo7 3708
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 4854
Soient \({\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) de classe ...
exo7 4944
Soient \({\cal T}\) un torseur et \({\cal P}\) un plan. Déterminer le lieu des po ...
exo7 4947
Soit \(ABCD\) un tétraèdre non aplati de l’espace. Pour \(X,Y \in \{A,B,C,D\}\) d ...
exo7 4958
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points distinct ...
exo7 4971
Soient \((O,\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC})\) et ...
exo7 5489
\(E=\Rr^3\) euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe ...
exo7 5491
\(\mathcal{B}\) est une base orthonormée directe de \(\Rr^3\) donnée. Montrer que ...
exo7 5493
Montrer que \(u\wedge v|w\wedge s=(u|w)(v|s)-(u|s)(v|w)\) et ...
exo7 5498
Soit \(r\) la rotation de \(\Rr^3\), euclidien orienté, dont l’axe est orienté pa ...
exo7 5501
Dans \(E_3\) rapporté à un repère \((O,i,j,k)\), on donne les points ...
exo7 5503
Matrice dans la base canonique orthonormée directe de la rotation vectorielle de \(\Rr^3\) autour de ...
exo7 5515
Dans \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé, soient \((D)\) ...
exo7 5793
Soit \((e_1,e_2,e_3)\) une base orthonormée directe d’un espace euclidien orienté ...
exo7 5835
Equation cartésienne du cylindre de révolution \((\mathcal{C})\) de rayon \(R\) e ...
exo7 5871
Soit \(\overrightarrow{\omega}\in\Rr^3\). Pour \(\overrightarrow{x}\in\Rr^3\), on ...
exo7 6398
Soient \(\xi(t)\) et \(\eta(t)\) deux courbes paramétrées de ...
exo7 7517
Soit \((\R_{ev}^3, standard)\) l’espace euclidien standard muni de la base canonique.
Déterminer une base o ...