Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Géométrie du plan et de l’espace
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À l’issue de la terminale, les étudiants connaissent le plan géométrique euclidien et l’espace géométrique euclidien de dimension 3 en tant qu’ensembles de points, la façon d’associer à deux points $A$ et $B$ le vecteur $\overrightarrow{AB}$, ainsi que les propriétés opératoires usuelles. À ce titre, on pourra utiliser la notation $B=A+\vec{u}$, équivalente à $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$.
Cette section permet d’illustrer géométriquement la théorie des systèmes linéaires et de renforcer l’intuition géométrique en lien avec l’étude des espaces vectoriels abstraits. Il convient d’avoir recours à de nombreuses figures en dimension 2 et en dimension 3.
exo7 7009
Déterminer une équation complexe de la droite
exo7 7010
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts d’affixes ...
exo7 7047
On donne une droite \(\mathcal D\) et un point \(P \not\in \mathcal D\). Tracer l ...
exo7 7049
On donne deux points \(A\) et \(B\). Construire un triangle ...
exo7 7053
On donne deux points \(O\) et \(I\), avec ...
exo7 7054
On donne deux cercles \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) de rayons ...
exo7 7055
On donne une droite \(\mathcal D\) et un point \(O\) hors de la droite. Tracer le ...
exo7 7056
On donne une droite \(\mathcal D\), un point \(H\) sur ...
exo7 7057
On donne trois cercles distincts \(\mathcal C_1\), \(\mathcal C_2\) et ...
exo7 7059
Soit \(ABC\) un triangle et \(\mathcal C\) son cercle circonscrit, de centre ...
exo7 7062
On donne un cercle \(\mathcal C\), un diamètre \([AB]\) et un troisième point ...
exo7 7064
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe, et \(I\), ...
exo7 7065
Un quadrilatère est dit orthodiagonal si ses diagonales sont perpendiculaires.
Soit \(ABCD\) un qu ...
exo7 7067
Trois cercles sont tangents extérieurement deux à deux. Montrer que les tangentes communes sont concourantes.
exo7 7073
Un quadrilatère convexe est dit tangentiel ou circonscriptible s’il possède un cercle inscrit, c’est-à-dire si ses quatre côtés s ...
exo7 7074
Soit \(ABC\) un triangle. Le cercle exinscrit dans l’angle en \(A\) touche les cô ...
exo7 7076
On donne un cercle \(\mathcal C\) (de centre \(O\)), un point ...
exo7 7081
Soit \(\mathcal D\) une droite, \(A\) et \(B\) d ...
exo7 7082
Soit \(ABC\) un triangle, \(P\) le pied de la hauteur issue de ...
exo7 7083
Soient \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) deux cercles de rayons distincts. Mo ...
exo7 7084
On donne deux cercles. Déterminer le nombre de tangentes communes aux deux cercles et tracer ces tangentes.
exo7 7086
Soit \(ABC\) un triangle. On note \(G\), ...
exo7 7101
Soient \(C\) et \(C'\) deux cercles sécants de centres ...
exo7 7102
On se donne un carré, et on cherche à construire un carré de même centre, aux côtés parallèles, et d’aire deux fois plus petite, comme ci-dessous: ...
exo7 7104
On considère un carré \(ABCD\) et on place quatre points \(E\), ...
exo7 7105
Sur les côtés \([AB]\) et \([BC]\) d’un carré direct ...
exo7 7108
Soit \(BOA\) un triangle indirect quelconque, \(OAC\) et ...
exo7 7113
Soit \(ABC\) un triangle et \(D\) le projeté orthogonal de ...
exo7 7114
Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\), ...
exo7 7115
Soit \(ABC\) un triangle direct non isocèle rectangle. Soient \(ARB\), ...
exo7 7119
On donne un segment \([AB]\) et un réel \(\alpha \in ]-\pi,\pi[\). On suppose que ...
exo7 7120
Construire un octogone convexe régulier dont un des côtés est un segment \([AB]\) donné.
exo7 7122
Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les cotés opposés sont deux à deux de même longueur. Soit ...
exo7 7123
Soient \(\mathcal C_1\) et \(\mathcal C_2\) deux cercles sécants en ...
exo7 7129
Soient \(\mathcal C_1\) et \(\mathcal C_2\) deux cercles se coupant en ...
exo7 7130
On donne deux segments \([AB]\) et \([CD]\) non parallèles et de longueur différe ...
exo7 7131
Soit \(ABC\) un triangle non rectangle et \(A'\), ...
exo7 7134
Soit \(\Gamma\) un cercle, \(O\) son centre et ...
exo7 7137
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. Que dire du quadrilatère formé par les intersections des médiatrices des qu ...
exo7 7138
On considère un carré \(ABCD\) et on place quatre points \(E\), ...
exo7 7140
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe inscriptible dont les diagonales sont perpendiculaires, et soit ...
exo7 7141
Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(P\) un point du plan.
exo7 7142
Soient deux cercles se coupant en deux points distincts \(A\) et \(B\), et ...
exo7 7143
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\), et ...
exo7 7144
Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(P\) un point du plan. On considère une droite ...
exo7 7152
Soit \(ABCD\) un carré direct de côté \(1\), et soient ...
exo7 7153
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) et non isocèle. La médiatrice de ...
exo7 7154
Soient \(A\) et \(B_0\) deux points et soit ...
exo7 7155
Soit \(ABC\) un triangle direct non rectangle isocèle, et soit \(P\) (resp. ...
exo7 7156
Soient \(M\), \(M_1\), \(M_2\), ...