Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
a) Calcul de primitives
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Primitives d’une fonction définie sur un intervalle à valeurs complexes. Lien entre intégrales et primitives. | Description de l’ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle connaissant l’une d’entre elles. On rappelle sans démonstration que, pour une fonction continue $f$, $x\mapsto\displaystyle\int_{x_0}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ a pour dérivée $f$. On pourra noter $\displaystyle\int^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ une primitive générique de $f$. |
Calcul des primitives, application au calcul d’intégrales. | Primitives de $x\mapsto\mathrm{e}^{\lambda x}$ pour $\lambda\in\mathbb{C}$, application aux primitives de $x\mapsto\mathrm{e}^{ax}\cos(bx)$ et $x\mapsto\mathrm{e}^{ax}\sin(bx)$. |
Primitives des fonctions exponentielle, logarithme, puissances, trigonométriques et hyperboliques, et des fonctions $x\mapsto\dfrac{1}{1+x^2}$, $x\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. | Les étudiants doivent savoir calculer les primitives de fonctions du type $x\mapsto\dfrac{1}{ax^2+bx+c}$ et reconnaître les dérivées de fonctions composées. |
Intégration par parties, changement de variable. | Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité. |
exo7 4271
\(\int_0^1 \sqrt{ \frac{ t}{1-t} }\,d t = \frac{ \pi}{2}\)
...
exo7 4272
...
exo7 4273
\(\int_0^{+\infty} te^{-\sqrt t} \,d t = 12\)
...
exo7 4276
Convergence et calcul de \(\int_{t=0}^{+\infty}\frac{t\,d t}{\sh t}\) (on pourra décomposer l’intégrande en somme ...
exo7 4277
On pose \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos(2nt)\ln(\sin t)\,d t\) (\(n\in\N^*\)). C ...
exo7 4280
Calculer \(I_n = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{(t+1)(t+2)\dots(t+n)}\).
exo7 4286
Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que …
exo7 4288
Calculer ...
exo7 4297
Soit \(f:\R \to \R\) continue par morceaux telle que ...
exo7 4307
Soient \(I = \int_{u=0}^{+\infty} \frac{d u}{(1+u^2)(1+u^n)}\) et ...
exo7 4314
Calculer les limites : \(\lim_{x\to0} \int_x^{3x} \frac t{\tan^2t}\,dt\) et ...
exo7 4339
Calculer \(\varphi(a) = \int_{t=0}^1 \frac{d t}{1+at}\).
exo7 4356
Calculer \(f(a) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\cos(at)\,d t\).
exo7 4361
Domaine de définition de \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^\alpha}\,d x\). Calculer ...
exo7 4369
Étudier la limite en \(0+\) de ...
exo7 4377
Soit \(f(x) = \int_{t=0}^1\frac{1-t}{\ln t}t^x\,d t\). Étudier le domaine de définition de ...
exo7 4386
Soit \(I = \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,d x\).
En calculant ...
exo7 4407
Soit \(f : \R \to {\C^*}\) telle que : \(\forall\ x,y\in\R,\ f(x+y) = f(x)f(y)\). ...
exo7 5076
Calculer une primitive de chacune des fonctions suivantes :
exo7 5097
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5137
La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
exo7 5450
Etude complète de la fonction \(f(x)=\frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt\).
exo7 5451
Pour \(x\) réel, on pose \(f(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\).
exo7 5461
Trouver toutes les applications continues sur \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 5464
Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1}\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\).
exo7 5466
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5468
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5470
Calculer les intégrales suivantes (\(a\), \(b\) réels donnés, ...
exo7 5716
Existence et calcul de :
| 1) (** I) ... |
exo7 5717
Deux calculs de \(I =\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin x)\;dx\).
1) (** I) En utilisant ...
exo7 5886
Montrer que \(\forall x>0\), ...
exo7 6358
On considère l’équation différentielle linéaire sur \(\Rr^n\) ...
exo7 6737
Si \(\gamma\) est l’arc de courbe \(\gamma (t)=t+i(t^3-3t^2+4t-1)\) joignant les ...
exo7 6864
Calculer les primitives suivantes par intégration par parties.
exo7 6865
Calculer les primitives suivantes par changement de variable.
exo7 6866
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
exo7 6867
Calculer les intégrales suivantes :
exo7 6999
Résoudre sur \(]0;\pi[\) l’équation différentielle ...
exo7 729
Appliquer la règle de l’Hôpital aux calculs des limites suivantes : ...
exo7 7548
On définit \(\cosh z\) comme la somme de la série \(\sum \frac{z^{2n}}{(2n)!}\) e ...
exo7 7599
Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.
exo7 780
Soient \(0<a \leq b\). Montrer que ...
exo7 799
Soit \(\varphi\) une fonction bornée sur \([a,b]\) ; comparer les assertions suiv ...
exo7 811
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 812
Considérons l’intégrale \[I=\int_0^{\ln 2}\sqrt{e^x-1}\, dx\] Effectuer le changement de variables ...
exo7 814
Calculer les primitives suivantes : \[\int \frac{1}{\sqrt{2+x}+\sqrt[3]{2+x}}dx, \quad (t=\sqrt[6]{2+x}) \ ;\] ...
exo7 815
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 820
Calculer par récurrence : \[I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{du}{\cos ^{n}u}.\]
exo7 821
Calculer par récurrence : \[J_{n}=\int_{1}^{e}\log (u)^{n}du.\]