Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Algèbre linéaire 4 – Applications linéaires et matrices
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On travaille sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ le plus souvent en pratique, occasionnellement sur $\mathbb{K} = \mathbb{C}$.
On ne confondra pas matrices (ou vecteurs) lignes et matrices (ou vecteurs) colonnes.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Définition d’une application linéaire de $\mathbb{K}^p$ dans $\mathbb{K}^n$. | On pourra faire remarquer que certaines applications rencontrées dans d’autres chapitres (dérivation, intégration, espérance, applications du plan dans lui-même ou de l’espace dans lui-même, etc.) possèdent aussi la propriété de linéarité, sans pour autant aller plus loin. |
Opérations sur les applications linéaires : addition, multiplication par un scalaire, composition, réciproque. Propriétés de ces opérations. Noyau, image. Lien avec : $f$ injective, $f$ surjective, $f$ bijective. Détermination d’une application linéaire par l’image des vecteurs d’une base. Matrice d’une application linéaire dans des bases. Matrice de la somme de deux applications linéaires, du produit par un scalaire d’une application linéaire, de la composée de deux applications linéaires, de l’application réciproque. | |
Rang d’une application linéaire. | On fait le lien entre les différentes notions de rang, vues à propos des systèmes, des familles de vecteurs, des matrices et des applications linéaires. |
Théorème du rang. | La démonstration n’est pas exigible. |
exo7 4284
Soit \(\varphi : {\R_n[X]} \to {\R^{n+1}}, P \mapsto {(a_0,\dots,a_n)}\) avec ...
exo7 430
Soit \(n \in \Nn^*\) fixé et \({\Delta} : {\Rr_n [X]} \mapsto {\Rr_n [X]}\), ...
exo7 4807
Soient \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. À ...
exo7 4875
Soit \({\cal P}\) un plan, et \(f : {\cal P} \to {\cal P}\) une application affin ...
exo7 5182
Soit \(E=\Rr[X]\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. ...
exo7 5185
Soit \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) u ...
exo7 5187
Soient \((e_i)_{1\leq i\leq 4}\) la base canonique de \(\Rr^4\) et ...
exo7 5189
Soit \(f\in\mathcal{L}(\Rr^2)\). Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...
exo7 5257
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5259
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5260
Soit ...
exo7 5261
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\Rr^3\), nilpotent d’indice ...
exo7 5266
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)\) et \(B\in\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)\) telles que ...
exo7 5271
Soit \(f\) qui, à \(P\in\Rr_{2n}[X]\) associe ...
exo7 5272
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que : ...
exo7 5487
Soit \(a\) un vecteur non nul de l’espce euclidien \(\Rr^3\). On définit ...
exo7 5580
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de dimension finie et soient ...
exo7 5581
Soient \(E\), \(F\) et \(G\), trois ...
exo7 5585
Soient \(A\in\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)\) et \(B\in\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)\) telles qu ...
exo7 5595
Soit \(G\) un sous-groupe de \(GL(E)\) avec ...
exo7 5612
Calculer l’inverse de ...
exo7 5615
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(n\). ...
exo7 5621
Soient \(A\) une matrice carrée de format \(n\) et ...
exo7 5631
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 6073
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels normés et on note ...
exo7 6258
Soit \(E\) et \(F\) deux evn sur \(\Cc\). Une ap ...
exo7 6318
On considère l’équation différentielle du second ordre \[({\cal E})\quad\quad y''+ y=f(x)\] où ...
exo7 6363
Soit \(A\in {\cal L}(\Rr^n)\) et \(0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda\) valeur p ...
exo7 6388
Déterminer la nature des applications suivantes : \(\Rr^2 \rightarrow \Rr^2\), ...
exo7 6411
Rappelons qu’une application \(g\in SO(3)\) est dite retournement si ...
exo7 7315
Soit \(D ~:~ \R[X] \rightarrow \R[X]\) l’application de dérivation. Est-ce un morphisme de groupes ? Un morphisme ...
exo7 7411
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3\) l’application linéaire définie par ...
exo7 7412
Soit \(\R[X]\) l’ensemble de polynômes dans \(\R\) et soit ...
exo7 7432
Soit le plan affine \(E\) muni du repère cartésien \((A,\vec{u},\vec{v})\). On co ...
exo7 7438
Dans l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\), donne ...
exo7 7445
Soit \((E,<.>)\) un espace vectoriel euclidien. Répondre par vrai ou faux, puis dire sous quelles hypothèses ...
exo7 7463
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension \(3\) muni d’un repère cartési ...
exo7 7492
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7494
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7501
Soit \(P\) un plan affine et \((A,B,C)\) un repère affine. Donner la condition d’ ...
exo7 929
Déterminer si les applications \(f_{i}\) suivantes sont linéaires : ...
exo7 931
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de ...
exo7 932
Soit \(f\) une application linéaire de \(\Rr^n\) dans ...
exo7 933
Soient : \(E\), \(F\) et \(G\) trois sous espace ...
exo7 951
Donner des exemples d’applications linéaires de \(\Rr^{2}\) dans \(\Rr^{2}\) véri ...
exo7 953
Soit \((\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})\) une base de \(\Rr^3\), et ...
exo7 956
Pour les applications linéaires suivantes, déterminer \(\ker f_i\) et \(\Im f_i\) ...
exo7 962
Montrer que si \(p<q\) il n’existe pas d’application linéaire surjective de ...
Réseau entièrement linéaire : équivalence avec un neurone simple
On considère un réseau \(1 \to 3 \to 1\) dont toutes les activations sont linéaires (identité).