Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
b) Conditionnement
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Définition de la probabilité conditionnelle. $P_A$ est une probabilité. Formule de conditionnement $P(A \cap B) = P(A)P_A(B)$. | On utilise l’une ou l’autre des deux notations $P(B \mid A)$ et $P_A(B)$ pour la « probabilité de $B$ sachant $A$ » (probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé). |
Formule des probabilités composées (conditionnements successifs). | |
Réécriture de la formule des probabilités totales en termes de probabilités conditionnelles. | Dans le cas où $P(A_i) = 0$, on conviendra que $P(A_i)P_{A_i}(B) = 0$. On pourra s’appuyer sur des représentations telles que arbres, graphes, tableaux, diagrammes, etc. Ces représentations n’auront pas valeur de démonstration. |
Formule de Bayes. | |
Indépendance de deux événements. Événements (mutuellement) indépendants. Extension à l’indépendance conditionnelle. | On souligne le lien qui existe entre les hypothèses d’indépendance et les choix faits lors de la modélisation du problème étudié. |
Approximation par une loi normale
On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0.05\) est fausse et sur des pièces de d ...
Double jeu et probabilités discrètes
Un joueur effectue une suite de parties de pile ou face indépendantes, avec probabilité \(p\) d’obtenir pile à cha ...
Détection de menaces par radar
Un système de radar militaire est utilisé pour détecter des missiles ennemis. Le radar détecte un missile avec une probabilité de 95%. Le radar déc ...
exo7 5984
Un étudiant s’habille très vite le matin et prend, au hasard dans la pile d’habits, un pantalon, un tee-shirt, une paire de chaussettes; il y a ce ...
exo7 5987
Amédée, Barnabé, Charles tirent sur un oiseau; si les probabilités de succès sont pour Amédée : \(70\)%, Barnabé : ...
exo7 5990
Dans un jeu de \(52\) cartes, on prend une carte au hasard : les événements <<tirer un roi>> et <&l ...
exo7 5991
La famille Potter comporte \(2\) enfants; les événements \(A\) : <<il y a d ...
exo7 5992
Dans la salle des profs \(60\)% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux port ...
exo7 5993
Une fête réunit \(35\) hommes, \(40\) femmes, ...
exo7 5995
Un professeur oublie fréquemment ses clés. Pour tout \(n\), on note : \(E_n\) l’é ...
exo7 5996
Dans les barres de chocolat N., on trouve des images équitablement réparties des cinq personnages du dernier Walt Disney, une image par tablette. M ...
exo7 5997
En cas de migraine trois patients sur cinq prennent de l’aspirine (ou équivalent), deux sur cinq prennent un médicament M présentant des effets sec ...
exo7 5998
Dans une population 40% des individus ont les yeux bruns, 25% des individus ont les cheveux blonds, 15% des individus ont les yeux bruns et les che ...
exo7 5999
Un constructeur aéronautique équipe ses avions trimoteurs d’un moteur central de type A et de deux moteurs, un par aile, de type B; chaque moteur t ...
exo7 6000
On sait qu’à une date donnée, 3% d’une population est atteinte d’hépatite On dispose de tests de dépistage de la maladie :
Si la pe ...
exo7 6001
Dans mon trousseau de clés il y a \(8\) clés; elles sont toutes semblables. Pour rentrer chez moi je mets une clé ...
exo7 6002
Six couples sont réunis dans une soirée de réveillon. Une fois les bises de bonne année échangées, on danse, de façon conventionnelle: un homme ave ...
exo7 6004
Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, les probabilités de gagner ou perdre sont les mêmes; puis, on ...
exo7 6006
On prend au hasard, en même temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont défectueuses. Calculer la probabilité des événements:
...
exo7 6008
L’oral d’un concours comporte au total 100 sujets; les candidats tirent au sort trois sujets et choisissent alors le sujet traité parmi ces trois s ...
exo7 6012
Un industriel doit vérifier l’état de marche de ses machines et en remplacer certaines le cas échéant. D’après des statistiques précédentes, il éva ...
exo7 6021
On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0,05\) est fausse et sur des pièces de 2 ...
exo7 6890
Au loto, on choisit 6 numéros principaux, qui sont 6 nombres différents entre 1 et 49, et un numéro complémentaire, qui est un nombre entre 1 et 49 ...
exo7 6891
Une urne contient une boule rouge, trois boules vertes et seize boules blanches. La boule rouge permet de gagner 10 euros, chaque boule verte perme ...
exo7 6893
Les trois mousquetaires (donc quatre personnes) ont mélangé leurs bottes dans le couloir de l’auberge. D’Artagnan se lève le premier et prend deux ...
exo7 6896
Aurore arrive en retard en cours avec une probabilité \(1/2\). Elle ne va pas en cours avec une probabilité ...
exo7 6897
On a décelé dans une certaine population une probabilité de 0,01 pour qu’un enfant soit atteint par une maladie M. La probabilité qu’un enfant qui ...
exo7 6898
Les ampoules de la marque X sont fabriquées dans deux usines, A et B. 20\(\%\) des ampoules de l’usine A et 5 ...
exo7 6899
Une personne lance deux dés à 6 faces et dit qu’elle a obtenu au moins un nombre pair. Quelle est la probabilité que les deux nombres obtenus soien ...
exo7 6900
Il y a \(5\%\) de daltoniens chez les hommes et \(0,25\%\) chez les femmes. Il y ...
exo7 6901
Deux urnes sont remplies de boules. La première contient 10 boules noires et 30 boules blanches. La seconde contient 20 boules noires et 20 boules ...
exo7 6914
Charles ne supporte pas les chats et Sophie déteste les chiens. Charles n’élève pas plus d’un chien et Sophie pas plus d’un chat. La probabilité po ...
exo7 6937
A la suite de la formulation des lois de Mendel, Bateson a effectué des croisements avec des pois de senteur afin d ...
exo7 6942
Soient \(A\) et \(B\) deux événements indépendants. Montrer que ...
Fiabilité
Une chaîne de montage d’ordinateurs utilise un lot de composants électroniques contenant \(2\)% d’éléments défectu ...
Fonctionnement d'une machine
Une usine a besoin de deux machines \(m_1\) et \(m_2\). La probabilité que ...
Indépendance
Soient \(A_1, \ldots, A_n\) une suite de \(n\) événements d’un espace probabilisé ...
Indépendance
Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12 . On en tire une hasard, et on considère les événements ...
Indépendance de caractères
Le tableau suivant donne la répartition de 10 000 personnes en fonction de leur groupe sanguin et de leur facteur Rhésus.
Jeu et suite
Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, il a une probabilité de ...
Loi discrète, espérance, variance et probabilité conditionnelle
Une urne contient des jetons numérotés de \(1\) à \(5\). On tire un jeton au hasa ...
Marche aléatoire
On considère un carré ABCD et son centre de gravité O. On note \(\mathcal{E} = \{A,B,C,D,O\}.\). Une puce se dépla ...
Probabilité bayésienne
Un poison vient d’être ingéré par une personne. L’examen des lieux laisse penser que trois poisons \(p_1\), ...
Probabilité conditionnelle et indépendance
On dispose de deux urnes. La première contient 3 boules noires et 7 boules blanches. La seconde contient 5 boules noires et 5 boules blanches.
...Probabilité d'événements
Soit \((\Omega, \mathcal{T}, \prob)\) un espace probabilisé et trois événements ...
Probabilités conditionnelles et indépendance
Une entreprise fabrique des cartes graphiques. Deux ateliers de fabrication se répartissent la production d’une journée de la façon suivante : l’at ...
Probabilités conditionnelles et prise de décision
Vous êtes un mage perdu dans les marais maudits et une créature des ténèbres arrive. Il vous faut un certain temps pour invoquer un sort d’attaque ...
Probabilités et divisibilité
Soit un entier \(n\) naturel non nul et non premier. On note ...
Problème de clés
Taille dans une population et probabilités
Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65 ans peut être modélisée par une variable aléatoire ...