Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Géométrie 1
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Ce chapitre vise à consolider les acquis des années antérieures sur les notions de vecteurs, droites et plans dans le plan et l’espace géométriques. En mathématiques, il sert essentiellement de support intuitif et introductif à l’algèbre linéaire ; il permet aussi de présenter le produit scalaire qui sera étudié dans des espaces plus généraux en seconde année. Enfin, ce chapitre sert également aux sciences physiques et à la géologie.
En mathématiques, une épreuve écrite ou orale ne doit pas reposer sur ce chapitre.
Dans tout ce chapitre, on se place dans le plan et l’espace géométriques formés de points et dans lesquels plusieurs notions et résultats sont supposés connus : distance entre deux points, parallélisme, perpendicularité, angle géométrique, angle orienté, angle droit, cosinus d’un angle géométrique, trigonométrie du triangle rectangle.
- a) Vecteurs du plan et de l’espace. 50
- b) Déterminant 17
- c) Droites et cercles dans le plan 168
- d) Droites et plans dans l’espace 122
- e) Projection orthogonale 61
- f) Produit scalaire 78
exo7 5197
Déterminer le projeté orthogonal du point \(M(x_0,y_0)\) sur la droite \((D)\) d’ ...
exo7 5198
Soit \((ABDC)\) un parallélogramme. Déterminer les coordonnées de \(D\) dans le r ...
exo7 5199
Soit \((E)\) l’ensemble d’équation cartésienne \(2x^2+5xy+3y^2-3x-2y-5=0\). Montr ...
exo7 5200
Déterminer un cercle tangent aux trois droites d’équations respectives \(y=2x+1\), ...
exo7 5202
Soient \(n\) un entier supérieur ou égal à ...
exo7 5203
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe d’équation \(x^2+y^2-2x+4y+1=0\).
exo7 5204
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points non al ...
exo7 5206
Montrer qu’il n’existe pas de triangle équilatéral dont les sommets appartiennent aux points d’intersection des lignes d’une feuille blanche quadri ...
exo7 5208
Soient \((D)\) et \((D')\) deux droites sécantes d’équation respectives ...
exo7 5487
Soit \(a\) un vecteur non nul de l’espce euclidien \(\Rr^3\). On définit ...
exo7 5488
Matrice de la projection orthogonale sur la droite d’équations \(3x=6y=2z\) dans la base canonique orthonormée de ...
exo7 5493
Montrer que \(u\wedge v|w\wedge s=(u|w)(v|s)-(u|s)(v|w)\) et ...
exo7 5496
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\geq1\). Une famille de ...
exo7 5501
Dans \(E_3\) rapporté à un repère \((O,i,j,k)\), on donne les points ...
exo7 5502
Dans \(E_3\) rapporté à un repère \((O,i,j,k)\), on donne : la droite ...
exo7 5503
Matrice dans la base canonique orthonormée directe de la rotation vectorielle de \(\Rr^3\) autour de ...
exo7 5504
Dans \(\Rr^3\), espace vectoriel euclidien orienté rapporté à la base orthonormée directe ...
exo7 5505
Dans \(\Rr^3\) affine, déterminer un repère de la droite \((D)\) ...
exo7 5506
Dans \(\Rr^3\), déterminer l’intersection de \((D)\) ...
exo7 5507
Dans \(\Rr^3\) affine, déterminer le réel \(a\) pour que les droites ...
exo7 5508
Dans \(\Rr^3\), équation du plan \(P\) parallèle à la droite ...
exo7 5509
Dans \(\Rr^3\), soient \((D)\) ...
exo7 5510
Dans \(\Rr^3\), soient \((D)\) ...
exo7 5511
Système d’équations cartésiennes de la droite \((\Delta)\) parallèle à la droite ...
exo7 5512
Trouver toutes les droites sécantes aux quatre droites \((D_1)\) \(x-1=y=0\), ...
exo7 5513
Dans \(\Rr^3\) euclidien rapporté à un repère orthonormé, on donne \(A(2,-2,0)\), ...
exo7 5514
Soit \(M(x,y,z)\) un point de \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé. Détermin ...
exo7 5515
Dans \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé, soient \((D)\) ...
exo7 5516
Montrer que les plans \((P_1)\) : \(z-2y=5\), ...
exo7 5517
Angle des plans \(x+2y+2z=3\) et \(x+y=0\).
exo7 5518
Soient \((P_1)~:~4x+4y-7z-1=0\) et \((P_2)~:~8x-4y+z+7=0\). Trouver une équation ...
exo7 5519
Déterminer la perpendiculaire commune aux droites \((D)\) et \((D')\) : ...
exo7 5520
Soient \((D)\) la droite dont un système d’équations cartésiennes est ...
exo7 5522
Déterminer la distance de l’origine \(O\) à la droite \((D)\) dont un système d’é ...
exo7 5523
(**) L’astroïde.
exo7 5525
La courbe orthoptique d’une courbe \((\mathcal{C})\) est le lieu des points du plan d’où l’on peut mener (au moins ...
exo7 5526
Trouver les droites à la fois tangentes et normales à l’arc paramétré : ...
exo7 5528
Trouver une équation cartésienne des supports des arcs suivants :
exo7 5529
Soit \(T\) l’intersection de \((Ox)\) et de la tangente en ...
exo7 5542
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R}=(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\). Nature et é ...
exo7 5545
Déterminer l’orthoptique d’une parabole , c’est-à-dire l’ensemble des points du plan par lesquels il passe deux tangentes à la parabole, perpendicu ...
exo7 5546
Droite de Simson. Soit \((A,B,C)\) un triangle et ...
exo7 5547
\((\mathcal{C})\) est le cercle de diamètre \([A,B]\). ...
exo7 5548
Soit, dans \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé ...
exo7 5779
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\), non nulle à valeurs réelles posit ...
exo7 5788
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) non nulle. Soit ...
exo7 5791
Soit \(A\) une matrice orthogonale. Montrer que la valeur absolue de la somme des coefficients de ...
exo7 5793
Soit \((e_1,e_2,e_3)\) une base orthonormée directe d’un espace euclidien orienté ...
exo7 5820
\((\mathcal{C})\) est le cercle de diamètre \([AB]\). ...
exo7 5821
L’espace de dimension \(3\) est rapporté à un repère orthonormé \((O,i,j,k)\). On ...