Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 5 – Méthodes de calcul
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L’objectif de ce chapitre est de mettre en place quelques principes et exemples de maniement des symboles $\Sigma$ et $\Pi$, dont les usages sont constants. La présentation des coefficients binomiaux peut être faite dans ce contexte ou bien en lien avec le dénombrement.
On travaille dans $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
⇌ La plupart des formules présentées ici peuvent donner lieu à des algorithmes de calcul.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Notation $\sum$. | On précise qu’une somme ayant un ensemble d’indices vide est nulle. |
Règles de calcul sur le symbole $\sum$ : Linéarité, changements d’indices (translations et symétries), télescopages. | |
Sommes doubles : $\displaystyle\sum_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq m}} a_{i,j}$ et $\displaystyle\sum_{1 \leq i \leq j \leq n} a_{i,j}$. | Les attendus du programme se limitent au maniement de ces symboles conduisant à les mettre sous la forme de deux sommes simples successives. |
Notation $\prod$. | On précise qu’un produit ayant un ensemble d’indices vide vaut 1. |
Règles de calcul sur le symbole $\prod$. | On se contente de mettre en valeur la multiplicativité du symbole $\prod$. |
Factorielle, notation $n!$. | |
Somme de termes consécutifs d’une progression géométrique : $\displaystyle\sum_{0 \leq k \leq n} q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$. Sommes des $n$ premiers entiers et des $n$ premiers carrés. | La raison $q$ est dans $\mathbb{C} \setminus \{1\}$. |
Coefficients binomiaux. | On adopte la définition suivante : $\displaystyle\binom{n}{k} = \begin{cases} 0 & \text{si } k < 0 \text{ ou } k > n \\ \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} & \text{sinon.} \end{cases}$ |
Triangle de Pascal. Formule du binôme. | On met en valeur les formules : $\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \qquad \binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}$ $\displaystyle\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}$ |
exo7 3056
Soient \(n,p \in \N^*\) avec \(n < p!\). Montrer qu’il existe un unique ...
exo7 3144
Soit \(x=\frac pq \in \Q^*\) avec \(p,q\) entiers, ...
exo7 3911
Simplifier \(\sum_{k=0}^{n-1} 3^k\sin^3\left(\frac\alpha{3^{k+1}}\right)\).
exo7 4033
Développer de deux manières \((1-e^x)^n\) en \(0\) à l’ordre ...
exo7 4229
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...
exo7 4400
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue.
Chercher ...
exo7 4430
Calculer les sommes des séries suivantes :
exo7 4431
Convergence et somme de la série de terme général ...
exo7 4433
On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6\). Calculer ...
exo7 4434
On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}}k = \ln 2\). Montrer que la série ...
exo7 4435
Pour quelles valeurs de \(a,b\in \R\) la série de terme général ...
exo7 4438
Peut-on empiler 100 pièces de 1F de sorte que la dernière soit complètement en porte à faux ? (c’est-à-dire que sa projection sur un plan horizonta ...
exo7 4447
Donner un équivalent simple de \(\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{n^2-k^2}\).
exo7 4468
Soient \(a \in {[0,1[}\). Écrire \(\frac1{(1-a)^2}\) comme produit de deux séries ...
exo7 4473
Soient \(k,p \in \N\) avec \(k \le p\). Montrer que ...
exo7 4483
Soient deux suites de termes généraux \(u_n\) et \(v_n\) définies par la donnée d ...
exo7 4484
On considère une suite \((a_n)\) de réels et on définit ...
exo7 4490
Étudier la finitude des sommes suivantes :
exo7 4491
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac1{k!}\).
exo7 4498
Calculer les sommes suivantes : \(A = \sum_{(p,q)\in(\N^*)^2}\frac1{p^2q^2}\), ...
exo7 4579
Quel est le coefficient de \(x^n\) dans ...
exo7 4586
Rayon et somme de \(\sum P(n)x^n\) où \(P\) est un polynôme de degré ...
exo7 4587
Calculer \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{2^n}\) et ...
exo7 47
Calculer la somme \(S_n = 1+z+z^2+\cdots+z^n\).
exo7 488
Soient \(a_1,\ldots,a_n,\ b_1,\ldots,b_n \in \Rr\), les \(a_i\) n’étant pas tous ...
exo7 498
Soient \(n\in \Nn^{*},\) et \((x_{1},x_{2},...,x_{n})\in \Rr^{n}\) tels que ...
exo7 499
Soient \(n\in \Nn^{*},\) et \((x_{1},x_{2},...,x_{n})\in [0,1]^{n}\), montrer que ...
exo7 501
Montrer : \[\forall n\geq 1,\forall x\in \Rr,\sum\limits_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})=E(nx).\]
exo7 5070
Calculer \(\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)\) pour \(a\) élément don ...
exo7 5090
Calculer \(u_n=\Arctan\frac{2}{1^2}+\Arctan\frac{2}{2^2}+...+\Arctan\frac{2}{n^2}\) pour ...
exo7 5093
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sh(2+x)+\sh(2+2x)+...+\sh(2+100x)=0\).
exo7 5094
Montrer que pour tout réel \(x\) non nul, on a : ...
exo7 51
Soit \(\epsilon\) une racine \(n\)-ième de l’unité ; calculer ...
exo7 5108
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\Nn^*\), ...
exo7 5109
Montrer par récurrence que, pour tout naturel non nul \(n\), ...
exo7 5137
La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
exo7 5138
Quel est le coefficient de \(a^4b^2c^3\) dans le développement de \((a-b+2c)^9\). ...
exo7 5139
Développer \((a+b+c+d)^2\) et \((a+b+c)^3\).
exo7 5140
Soit \((n,a,b)\in\Nn^*\times]0,+\infty[\times]0,+\infty[\). Quel est le plus grand terme du développement de ...
exo7 5141
Résoudre dans \(\Nn*\) l’équation \(\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\binom{n}{3}= 5n\). ...
exo7 5142
Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique.
exo7 5143
Calculer les sommes suivantes :
exo7 5144
Calculer les sommes suivantes :
exo7 5145
(*) Calculer \(\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{k})\), \(n\in\Nn^*\).
exo7 5147
Montrer que, pour \(a\) réel positif et \(n\) entier naturel donnés, ...
exo7 5148
On veut montrer de manière élémentaire (c’est-à-dire en se passant du logarithme népérien et en ne travaillant qu’avec les deux opérations ...
exo7 5149
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), ...
exo7 5150
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), \(a_2\),..., ...
exo7 5154
Soient \(x\) un réel. Déterminer ...
exo7 5156
Montrer que : \(\forall n\in\Nn^*,\;\forall x\in\Rr,\;\sum_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})=E(nx)\) (poser la division ...