Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 2 – Nombres réels
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L’objectif de ce chapitre est de consolider et de compléter les acquis des classes antérieures afin que ces outils soient familiers aux étudiants.
Les ensembles $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ sont supposés connus.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Intervalles. | On se limite à une simple description des différents types d’intervalles. |
Valeur absolue. | Interprétation de la valeur absolue en termes de distance. |
Partie entière. | On adopte la notation internationale $\lfloor \cdot \rfloor$ pour la partie entière afin de ne pas la confondre avec l’espérance. |
Exposants, racine carrée, racine cubique. | On se limite, à ce stade, aux puissances du type $x^n$, $x \in \mathbb{R}^*$, $n \in \mathbb{Z}$. On attend une maitrise des formules $(xy)^n = x^n y^n$, $x^{n+m} = x^n x^m$, $(x^n)^m = x^{nm}$, $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$, $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$. La notation $a^b$ avec $a \in \mathbb{R}_+^*$ et $b \in \mathbb{R}$ sera introduite dans le chapitre Analyse 2. |
Identités remarquables. | Les attendus se limitent aux formules suivantes : $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ |
Manipulation des inégalités. | Il s’agit d’une simple reprise des règles de calcul algébrique sur les inégalités. |
Résolutions d’équations et d’inéquations simples. | Il s’agit d’une reprise des types d’équations et inéquations abordées dans les classes antérieures. |
Majorant, minorant, plus grand, plus petit élément d’une partie non vide de $\mathbb{R}$. Borne supérieure, borne inférieure. | On admet l’existence de la borne supérieure d’une partie majorée non vide. La recherche de bornes supérieures ou inférieures à partir de la définition sera étudiée sur quelques exemples simples dans le seul but d’illustrer la notion. |
exo7 454
Calculer avec une calculette : ...
exo7 455
On considère les nombres rationnels inférieurs à \(\sqrt{2}\). Y a-t-il un nombre rationnel juste avant ...
exo7 456
Soient \(a\) et \(b\) deux rationnels positifs tels que ...
exo7 458
Trouver sous la forme \(\frac{p}{q}\) des rationnels \(x\) dont les dévelopements ...
exo7 459
Soit \(N_n = 0,1997\,1997\ldots 1997\) (\(n\) fois). Mettre ...
exo7 460
Montrer que l’ensemble \(\{r^3\ ;\ r\in \Q\}\) est dense dans \(\R\).
exo7 462
Soit \(a\in \Rr\), montrer : ...
exo7 463
Montrer que l’ensemble des nombres dyadiques : \[\left\{ \frac{a}{2^{k}},(a,k)\in \Zz\times \Nn\right\}\] est den ...
exo7 464
Le maximum de deux nombres \(x,y\) (c’est-à-dire le plus grand des deux) est noté ...
exo7 465
Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de : ...
exo7 466
Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément ...
exo7 467
Soit \[I = \left\lbrace x \in \Rr \ | -2 < x +\frac{1}{2x} \le 2 \right\rbrace.\]
exo7 4674
Démontrer, sans utiliser la fonction \(\ln\), que ...
exo7 468
Les ensembles suivants ont-ils une borne supérieure, un plus grand élément, une borne inférieure, un plus petit élément, dans ...
exo7 469
On considère l’ensemble des nombres de la forme \(1+\frac{1}{n}\), où \(n\) décri ...
exo7 470
Étant donné un ensemble \(A \subset\mathbb{R}\), écrire avec des quantificateurs les propriétés suivantes :
exo7 471
Soit \(E\) l’ensemble des réels de la forme \(\frac{n-1/n}{n + 1/n}\) avec ...
exo7 4714
Soient \(x,y,z \ge 0\). Montrer que \(x^3+y^3+z^3 - 3xyz \ge 0\) (mettre ...
exo7 473
Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides de ...
exo7 474
Soit \(\bigl( a_{ij}\bigr)_{(i,j) \in I \times J}\) une famille non vide et bornée de réels ; comparer : ...
exo7 475
Soit \(A\) une partie majorée de \(\mathbb{R}\) d’au moins deux éléments et ...
exo7 476
Soient \(A\) et \(B\) deux parties bornées de ...
exo7 477
Soit \(A\) et \(B\) deux parties bornées de ...
exo7 478
Donner la borne supérieure et la borne inférieure (si elles existent) de l’ensemble: ...
exo7 481
Si \(a= \sup A\), montrer qu’il existe une suite d’éléments de \(A\) qui converge ...
exo7 482
Soit \(A= \mathbb{Q}\cap\mathopen]0,1 \mathclose[\) et \(a,b\in\mathbb{R}_+\). On ...
exo7 483
Soit \(A\) l’ensemble des nombres réels qui peuvent s’écrire ...
exo7 485
Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs. On pose ...
exo7 486
Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides bornées de ...
exo7 487
Démontrer par récurrence sur \(n\) que pour tout \(n\geq 2\) l’implication ...
exo7 488
Soient \(a_1,\ldots,a_n,\ b_1,\ldots,b_n \in \Rr\), les \(a_i\) n’étant pas tous ...
exo7 489
Deux entiers naturels distincts peuvent-ils vérifier la relation \(a^b=b^a\) ?
exo7 490
Résoudre l’équation \(\sqrt[4]{41+x}+\sqrt[4]{41-x}=4\), \(x\) étant un réel posi ...
exo7 491
Si \(a\) et \(b\) sont des réels positifs ou nuls, montrer que : ...
exo7 492
Soient \(x=(x_1,\ldots,x_n)\) et \(y=(y_1,\ldots,y_n)\in\Rr^n\). On note ...
exo7 494
Pour tout \(x,y\in \Rr\) et \(\lambda > 0\) montrer que : ...
exo7 4949
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\).
Quels sont les points ...
exo7 495
Soit deux nombres réels \(a\) et \(b\) vérifiant : ...
exo7 496
On note \(E (x)\) la partie entière d’un réel \(x\).
exo7 497
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) telle que ...
exo7 499
Soient \(n\in \Nn^{*},\) et \((x_{1},x_{2},...,x_{n})\in [0,1]^{n}\), montrer que ...
exo7 501
Montrer : \[\forall n\geq 1,\forall x\in \Rr,\sum\limits_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})=E(nx).\]
exo7 503
Démontrer que : \[\forall n\in \Nn^{*},E(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})=E(\sqrt{4n+2}).\]
exo7 5140
Soit \((n,a,b)\in\Nn^*\times]0,+\infty[\times]0,+\infty[\). Quel est le plus grand terme du développement de ...
exo7 5146
Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que ...
exo7 5147
Montrer que, pour \(a\) réel positif et \(n\) entier naturel donnés, ...
exo7 5148
On veut montrer de manière élémentaire (c’est-à-dire en se passant du logarithme népérien et en ne travaillant qu’avec les deux opérations ...
exo7 5150
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), \(a_2\),..., ...
exo7 5151
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels positif ...
exo7 5152
Montrer que : \(\forall x\in\Rr,\;E(x+1)=E(x)+1\).