Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 2 – Nombres réels
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L’objectif de ce chapitre est de consolider et de compléter les acquis des classes antérieures afin que ces outils soient familiers aux étudiants.
Les ensembles $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ sont supposés connus.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Intervalles. | On se limite à une simple description des différents types d’intervalles. |
Valeur absolue. | Interprétation de la valeur absolue en termes de distance. |
Partie entière. | On adopte la notation internationale $\lfloor \cdot \rfloor$ pour la partie entière afin de ne pas la confondre avec l’espérance. |
Exposants, racine carrée, racine cubique. | On se limite, à ce stade, aux puissances du type $x^n$, $x \in \mathbb{R}^*$, $n \in \mathbb{Z}$. On attend une maitrise des formules $(xy)^n = x^n y^n$, $x^{n+m} = x^n x^m$, $(x^n)^m = x^{nm}$, $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$, $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$. La notation $a^b$ avec $a \in \mathbb{R}_+^*$ et $b \in \mathbb{R}$ sera introduite dans le chapitre Analyse 2. |
Identités remarquables. | Les attendus se limitent aux formules suivantes : $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ |
Manipulation des inégalités. | Il s’agit d’une simple reprise des règles de calcul algébrique sur les inégalités. |
Résolutions d’équations et d’inéquations simples. | Il s’agit d’une reprise des types d’équations et inéquations abordées dans les classes antérieures. |
Majorant, minorant, plus grand, plus petit élément d’une partie non vide de $\mathbb{R}$. Borne supérieure, borne inférieure. | On admet l’existence de la borne supérieure d’une partie majorée non vide. La recherche de bornes supérieures ou inférieures à partir de la définition sera étudiée sur quelques exemples simples dans le seul but d’illustrer la notion. |
exo7 7177
Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs tels que ...
exo7 7178
Soient \(a\), \(b\), \(c\) et ...
exo7 7179
Résoudre sur \(\R\) l’équation \[2^x + x^2 = 2-\frac{1}{2^x}.\]
exo7 7181
Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs. Montrer que ...
exo7 7182
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels. Montre ...
exo7 7183
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels. Montre ...
exo7 7184
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels non nul ...
exo7 7185
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des réels stricteme ...
exo7 719
Étant donné \(y\) un réel positif et \(n\) un entier naturel pair, montrer que ...
exo7 7307
Il est souvent important de calculer \(a^t\) modulo \(n\) avec ...
exo7 7333
Soit \(p=13\). Trouver une racine \(c\) de ...
exo7 7338
Écrire en base 10 le nombre dont l’écriture hexadécimale est \(DA582\).
exo7 7342
Le but de l’exercice est de déterminer une valeur approchée de la racine cubique réelle \(c\) de ...
exo7 778
Déterminer les fonctions \(f\) de \([a, b]\) dans ...
exo7 7836
Résoudre dans \(\Zz^3\) l’équation \(a^2+b^2=c^2\).
Factorisation
Factoriser chacune des expressions littérales suivantes :
\(A=64\,x^{2}-100\)
...
Fractions
Calculer les expressions suivantes. On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
...
Identité avec des racines carrées
Soient \(x\) et \(y\) deux réels positifs tels que ...
Inéquation
Résoudre l’inéquation : \[\frac{(x+1)(x-2)}{2x+1} > 0\]
Inéquation et racines
Résoudre l’équation suivante, d’inconnue \(y\) : \[2y-5 - \sqrt{4y-7} \leq 0\] ...
Inéquations et valeurs absolues
Résoudre les inéquations \[|2x-5|\leq |x+3| \qeq |x^2-6x+7| < 1\]
Partie entière
Soient \(x\) et \(y\) deux réels.
Partie entière et partie fractionnaire
Soit \(f:x\mapsto x-[x]\). Que représente \(f(x)\) pour un réel ...
Puissances
Simplifier les expressions suivantes.
...
Racines
Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme \(a\,\sqrt{b}\) avec ...
Reconnaître une bande du plan
Un point \((x,y)\) reçoit l’étiquette \(1\) si les deux mesures ...
Simplification avec des racines cubiques
Simplifier \(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\).
Sur la somme de deux ensembles
Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides de ...
Toujours se méfier des inconnues
Soit \((E) : mx^2+x(2m-1)-2=0\) où \(x\) et ...
Un air de second degré
Résoudre les inéquations suivantes : \[\eu{x} < 1+6\eu{-x} \quad x^2-5x \geq 6\quad x^2-4|x| \leq 5\]
Une inégalité secondaire
Soient \(a, b, c\) et \(x\) des réels tels que ...
Une mesure aberrante et le choix de la perte
On relève les cinq couples \[(x_i,y_i)=(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,12).\] On hésite entre les deux modèles ...
Équations
Résoudre les équations suivantes, d’inconnue \(x\).