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Soit \(E = K_3[X]\), \(F = \{ P \in E\) tq ...

Soit \(\varphi : {\R^n} \to \R\) définie par ...

Pour \(n \in \N\), on pose \(f_n(x) = \cos(n\arccos x )\) et ...

Soit \(n \in \N,\ n \ge 2\), et \(a,b \in \R\). Montrer que l’équation ...

Montrer que le polynôme \(P(X)= X^5-X^2+1\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est irationnelle.

Montrer que le polynôme \(nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}+(n+2)X-n\) admet une racine multiple. Application : déterminer les ...

Soit \(P=(X^2-X+1)^2+1\).

Soient \(P,Q\) deux polynômes à coefficients réels, non constants, de coefficients dominants positifs.

On n ...

Pour tout \(a\in\Rr\) et tout \(n\in\Nn^*\), démontrer que ...

Prouver que \(B\) divise \(A\), où :
...

Soient \(P(X) = X + aX^3 + bX^5 + cX^7\) et ...

Pour \(n\in \mathbb{N}^{\ast}\), quel est l’ordre de multiplicité de 2 comme racine du polynôme ...

Pour quelles valeurs de \(a\) le polynôme \((X+1)^7-X^7-a\) admet-il une racine m ...

Soit \(U\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré \(n\) et à raci ...

Soit \(n \geq 2\) et \(P_n (X) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac 1{k ! }X^k\). ...

Résoudre les équations :

Soit \(P \in \Rr[X]\) scindé sur \(\Rr\) à racines simples.

Soit \((P,Q)\in \Rr_{n}[X]^{2}\) tels que ...

Soient \(W_{n}=(X^{2}-1)^{n}, \ L_{n}=\frac{1}{2^{n}n!}W_{n}^{(n)}.\)

Soit \(P\in {\Rr}[X]\) un polynôme dont tous les zéros sont réels et distincts, montrer que ...

Soit \(K\subseteq\Cc\) un corps pour les lois usuelles sur \(\Cc\) et ...

Soit \(p \in \N\) fixé et \((P_n)\) une suite de fonctions polynomiales de degrés ...

Soit \(p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i\). On suppose que tous les \(a_i\) son ...

On considère la courbe \(\mathcal{C}\) définie par : \(x(t) = \frac{t^4}{1+t^2}\) ...

On veut calculer \(S=\tan9^\circ-\tan27^\circ-\tan63^\circ+\tan81^\circ\).

Calculer les sommes suivantes :

Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), \(a_2\),..., ...

Montrer que \(\sum_{k=0}^{n-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})= n(n-1)\). (Indication. Poser ...

Trouver un polynôme de degré \(5\) tel que \(P(X)+10\) soit divisible par ...

Trouver tous les polynômes \(P\) vérifiant \(P(2X)=P'(X)P''(X)\).

Factoriser dans \(\Cc[X]\) le polynôme \(12X^4+X^3+15X^2-20X+4\).

Pour \(n\) entier naturel non nul donné, on pose \(L_n=((X^2-1)^n)^{(n)}\).

Soit \(P\) un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à \(2\).

Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= \frac{2u_n^3+7}{3(u_n^2+1)}\) et ...

Sur \(\Rr[X]\), on pose \(P|Q=\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\;dt\). Existe-t-il ...

Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) à coefficients réels. Montrer que la courbe ...

Soit \(f\) une application continue sur \([0,1]\) à valeurs dans ...

Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...

Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes à coefficients réels de degré respectif ...

Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...

Soit \(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_0\in \Z[X]\) et soit \(c\in \Q\) une ...

Pour quelle valeur de \(\lambda\) les polynômes suivants ont-ils un zéro en commun ?

Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes : ...

Soit \(T_n(x)=\cos\big(n \arccos(x)\big)\) pour \(x\in [-1,1]\).

Montrer que le polynôme \(P_n\) défini par ...

Montrer que le polynôme \(X^n+aX+b\), (\(a\) et ...

Résoudre sur \(\C\) l’équation \(z^2+\overline{z}-1=0\).

L’équation \(x^3 + x + 1 = 0\) a-t-elle des solutions dans \(\Z/2\Z\).

Soit \(D ~:~ \R[X] \rightarrow \R[X]\) l’application de dérivation. Est-ce un morphisme de groupes ? Un morphisme ...

Soit \(K\) un corps, et \(P \in K[X]\). Les assertions suivantes sont elles vraie ...