Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 6 – Vocabulaire des applications
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On évite ici tout excès de formalisme et on illustre les notions présentées par des exemples issus majoritairement de fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
Ces notions ne pourront constituer le thème principal d’aucune question d’écrit ou d’oral.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Application d’un ensemble de départ dans un ensemble d’arrivée. | On introduit les exemples des fonctions indicatrices et des suites. |
Image directe d’une partie de l’ensemble de départ. | La notion d’image réciproque d’une partie de l’ensemble d’arrivée n’est pas un attendu du programme. |
Composition. | On étudie quelques exemples fournis par des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ que l’on compose de diverses manières. |
Injection, surjection, bijection, application réciproque. Composée de deux bijections, réciproque de la composée. | On fait remarquer que, dans le cadre des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, une bijection et sa réciproque ont des graphes symétriques l’un de l’autre par rapport à la première bissectrice. |
$\partie(\N)$ n'est pas dénombrable
Montrer qu’il n’existe pas de surjection de \(\N\) dans \(\partie(\N\)).
En ...
Des bijectivités compliquées
On note \(E\) l’ensemble des suites \((u_n)\) géométriques, telles que ...
Des composées et des propriétés
Soient \(E, F\), \(G\) et \(H\) des ensembles, ...
Des ensembles en bijection
Montrer que les ensembles suivants sont en bijection, en explicitant une telle bijection :
Des puissances de $-1$
Soit \(f:\Z\dans \R\) définie pour tout entier \(x\) par ...
Encore des injections, des surjections, des bijections
Pour chacun des applications suivantes, justifier si elles sont injectives, surjectives, bijectives. Si elles sont bijectives, déterminer la biject ...
exo7 124
Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles, ...
exo7 1329
Soit \(E\) un ensemble muni d’une loi interne \(\star\). On appelle translation à ...
exo7 1405
Représenter graphiquement les permutations suivantes. Les décomposer en produit de cycles à supports disjoints, puis en produits de transpositions. ...
exo7 147
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions de \(\Nn\) dans ...
exo7 150
Soit \((f_n)_{n\in\Nn}\) une suite d’applications de l’ensemble \(\Nn\) dans lui- ...
exo7 157
Soit \(X\) un ensemble. Pour \(f \in \mathcal{F} (X, X)\), on définit ...
exo7 1746
Soit \(f\) l’application affine par morceaux, de \(\R\) dans ...
exo7 1747
Soit l’application ...
exo7 182
Soit \(f:\Nn^{*}\rightarrow \Nn^{*}\) une application vérifiant : ...
exo7 185
Soient \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) et \(g : \Rr \rightarrow \Rr\) telles que ...
exo7 1852
On cherche les fonctions \(f:\R^2\rightarrow \R\) telles que: ...
exo7 186
Soit l’application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), ...
exo7 187
Donner des exemples d’applications de \(\Rr\) dans \(\Rr\) (puis de ...
exo7 188
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = x^3-x\).
...
exo7 189
Les fonctions suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ? ...
exo7 190
Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
exo7 191
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = 2x/(1+x^2)\).
exo7 192
L’application \(f : \Cc\setminus{\{0\}} \rightarrow \Cc, \ z\mapsto z+1/z\) est-elle injective ? surjective ? bije ...
exo7 193
On considère quatre ensembles \(A,B,C\) et \(D\) et des applications ...
exo7 197
Si \(z=x+iy\), \((x,y)\in \Rr^2\), on pose ...
exo7 198
Soient \(a,\ b \in \Rr\) avec \(a \not= 0\), et ...
exo7 199
Soit \(f: [0,1] \rightarrow [0,1]\) telle que ...
exo7 200
Soit \(f:\Rr \rightarrow \Cc, \ t\mapsto e^{it}\). Changer les ensembles de départ et d’arrivée afin que (la restr ...
exo7 201
On appelle demi-plan de Poincaré l’ensemble \(\mathcal{P}\) des nombres complexes ...
exo7 202
Soit \(f : [1,+\infty[\rightarrow[0,+\infty[\) telle que \(f(x)=x^2-1\). ...
exo7 203
Soient \(A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{h} D\). Montrer que si ...
exo7 204
Soient \(A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{h} A\). Montrer que si ...
exo7 2102
(I) Soit \(X\) un ensemble et \({\cal P} (X)\) l’ensemble des parties de ...
exo7 2116
Soit \(G\) un groupe d’ordre impair. Montrer que l’application \(f\) de ...
exo7 231
Soient \(E\) un ensemble non vide et \(X ,Y\) une partition de ...
exo7 232
Soit \(E\) un ensemble, \(a \in E\) et ...
exo7 235
Montrer que \(\Zz\) est dénombrable en utilisant l’application : ...
exo7 2357
Montrer que \(f\) est continue si et seulement si ...
exo7 240
Soient \(A,A' ,B ,B'\) quatre ensembles tels que : ...
exo7 2728
On définit une permutation \(\sigma\) de l’ensemble \(\{1, 2, \dots, 15\}\) par l ...
exo7 2729
Montrer que les ensembles \(G\) suivants, munis des lois \(\star\) données, sont ...
exo7 2890
Soit \(E\) un ensemble, et \(A,B\) deux parties fixées de ...
exo7 2892
Soit \(f : F \to E\) et \(g : G \to E\) deux applications. Montrer qu’il existe ...
exo7 2895
Soient \(E \xrightarrow{f} F \xrightarrow{g} G \xrightarrow{h} E\) trois applications telles que ...
exo7 2897
Soit \(E\) un ensemble et \(f : E \to E\) bijective.
La conjugaison par ...
exo7 2898
Soient \(E,F\) deux ensembles. On dit que :
| ... |
exo7 2899
Soit \(f: E\to F\). Que pensez-vous des affirmations suivantes ?
exo7 2926
Soit \(f : {\C\setminus\{i\}} \to {\C\setminus\{1\}}, z \mapsto {\frac {z+i}{z-i}}\)
exo7 2961
Soit \(*\) une opération associative sur \(E\), et ...