Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Analyse 2 – Intégrales généralisées
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Convergence d’une intégrale généralisée (ou impropre) d’une fonction continue sur un intervalle $I$ semi-ouvert ou ouvert. | La convergence est traduite en termes de limites portant sur une primitive. La terminologie de « fonction intégrable » n’est pas donnée. Les notations $\int_I f$, $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t$, $\int_a^b f$, $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ pourront, selon le contexte, désigner l’intégrale généralisée ou sa valeur. |
Cas d’une fonction définie sur un intervalle et continue sur cet intervalle sauf éventuellement en un nombre fini de points. | Cas particulier d’une fonction prolongeable par continuité en un point. |
Propriétés des intégrales convergentes : linéarité, relation de Chasles, positivité, stricte positivité ($f$ positive non nulle), croissance. | La démonstration de la stricte positivité n’est pas exigible. |
Adaptation de l’intégration par parties aux intégrales généralisées. | On souligne la nécessité de confirmer la convergence de tous les termes apparaissant dans une telle formule. |
Adaptation de la formule de changement de variable pour les intégrales généralisées. | Si la fonction $\varphi$ est de classe $\mathscr{C}^1$ et strictement monotone sur un intervalle d’extrémités $a$ et $b$ ayant des limites $\alpha=\lim_a\varphi$ et $\beta=\lim_b\varphi$ et si $f$ est continue sur l’intervalle d’extrémités $\alpha$ et $\beta$, alors les intégrales $\int_\alpha^\beta f(x)\,\mathrm{d}x$ et $\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$ sont de même nature, et ont la même valeur lorsqu’elles convergent. |
Cas des fonctions paires ou impaires. | |
Théorèmes de convergence pour deux fonctions positives $f$ et $g$ : • théorème par comparaison si $f\leq g$, | Tout autre critère de convergence est hors programme. |
• si $f(x)\underset{x\to b}{\sim}g(x)$, alors les intégrales généralisées en $b$ $\int_a^b f$ et $\int_a^b g$ sont de même nature. | Tout résultat sur la nature des intégrales de Riemann devra être démontré. |
Convergence absolue d’une intégrale généralisée. | La convergence absolue est présentée comme une condition suffisante pour obtenir la convergence de l’intégrale. Les intégrales semi-convergentes sont hors programme. |
L’intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x$ converge et vaut $\sqrt{2\pi}$. | La valeur de cette intégrale est un résultat admis. |
exo7 5742
Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}\;dx\) et ...
exo7 5743
Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...
exo7 5744
Montrer que pour tout réel \(x\), ...
exo7 5768
Existence et calcul de \(\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt\) (on admettra que ...
exo7 5769
Existence et calcul de \(\int_{0}^{1}\frac{t-1}{\ln t}t^x\;dt\).
exo7 5770
Montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif, ...
exo7 5886
Montrer que \(\forall x>0\), ...
exo7 5925
Le but de cette question est de montrer que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt\) n’est pas absolument ...
exo7 5932
Cet exercice fournit une autre méthode de calcul du volume de la boule unité \(\mathcal{B}_{n}\) de ...
exo7 6736
Soit \(f(z)={1\over 1+z^4}\). Montrer que \(\int_{\gamma _R}f(z)\ dz\) tend vers ...
exo7 6951
Montrer que pour tout \(x>0\), ...
exo7 795
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt.\] Éventuellemment, en donner ...
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Fonction de répartition
Soit \(\lambda>0\) et \(X\) une variable aléatoire admettant pour densité ...
Fonction de répartition
Soit \(\lambda>0\) et \(X\) une variable aléatoire admettant pour densité ...
Loi de Pareto
Soient trois réels \(\alpha,a,x_0\) avec \(a>0\). On dit qu’une variable aléat ...
Loi de Poisson
Soit \(\lambda >0\) et \(X\) suivant une loi de Poisson ...
Moments de la loi exponentielle
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ...
Norme d'un vecteur gaussien et somme de variables exponentielles
Pour toute variable aléatoire \(T\), on définit la transformée de Laplace ...
Propriétés de la loi normale centrée réduite
Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite ...
Séries de Bertrand
Soient \(\alpha \in \R\) et \(\beta \in \R\) deux paramètres réels. On s’intéress ...