Programme de mathématiques MP, MPI
Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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La réduction des endomorphismes et des matrices carrées prolonge les notions d’algèbre linéaire vues en première année. Elle trouve des applications et des illustrations dans d’autres domaines du programme (topologie, équations différentielles, systèmes dynamiques discrets, chaînes de Markov). Elle permet également de tisser des liens entre l’algèbre linéaire et l’algèbre générale, notamment polynomiale.
Le but de cette section est de donner une introduction substantielle au problème de la réduction. Les approches sont de deux types, qu’il convient d’identifier : la première, de nature géométrique, repose sur les notions de sous-espace stable et d’éléments propres ; la seconde, plus algébrique, fait appel aux polynômes annulateurs.
Sans soulever de difficulté, on signale que les notions d’algèbre linéaire étudiées en première année s’étendent au cas d’un corps de base quelconque. Pour éviter les difficultés liées aux polynômes en caractéristique non nulle, la section est traité sous l’hypothèse que $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$.
- a) Compléments d’algèbre linéaire 20
- b) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 255
- c) Polynôme caractéristique 188
- d) Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables 203
- e) Endomorphismes et matrices carrées trigonalisables 22
- f) Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes 43
- g) Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 127
- h) Lemme de décomposition des noyaux 5
- i) Polynômes annulateurs et réduction 72
- j) Théorème de Cayley-Hamilton et sous-espaces caractéristiques 14
exo7 1598
Soit \(A \in \mathcal{O}_n(\R)\). Montrer que si \(-1\) n’est pas valeur propre d ...
exo7 1599
Soient \(E\) un K-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1600
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphisme s d’un espace vectoriel ...
exo7 1601
Soient \(A \in \mathcal{M}_4 \left (\mathbb{R} \right )\) et ...
exo7 1602
Soit \(u\in\mathrm{End}(E)\). On note ...
exo7 1603
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de ...
exo7 1604
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de ...
exo7 1605
On considère les matrices suivantes : ...
exo7 1606
Soit \(J\) la matrice ...
exo7 1607
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de ...
exo7 1608
Soit \(M\) la matrice suivante : ...
exo7 1609
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E=\C^{n}\). Soit ...
exo7 1610
On considère l’application suivante : ...
exo7 1611
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et de base ...
exo7 1614
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1615
Soit \(A=\left (\begin{array}{cc} 1&4\\2&3\end{array}\right ).\) Trouver les valeurs propres de ...
exo7 1616
Soit \(A=\left (\begin{array}{ccc} 4&1&-1\\2&5&-2\\1&1&2\end{array}\right ).\) Diagonalise ...
exo7 1617
Soit \(A=\left (\begin{array}{ccc} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right ).\) Trouver, sans ...
exo7 1618
On considère les matrices suivantes ...
exo7 1619
Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 1. Soit \(A\) une matrice ...
exo7 1620
On considère la matrice ...
exo7 1621
Soit \(T\) l’application linéaire de \(\mathbb R^3\) dans ...
exo7 1622
Lorsque c’est possible, diagonaliser les matrices suivantes :
...
exo7 1623
Pour quelles valeurs de \((a,b,c)\in\C^{2}\) la matrice ...
exo7 1624
Soit \(u\) l’application suivante : ...
exo7 1625
Soit \(A\in\mathcal{M}_{n}(\R)\). Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propr ...
exo7 1626
Soit \(A_{t}\) la matrice ...
exo7 1627
Pour quelles valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\) le ...
exo7 1628
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes diagonalisables de ...
exo7 1629
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. ...
exo7 1630
Soit \(f\) un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel \(E\) et ...
exo7 1631
Soit \(P_{0}\) un polynôme de \(\R_{n}[X]\), et ...
exo7 1632
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et ...
exo7 1633
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables, sur \(\R\) et sur ...
exo7 1634
On considère un endomorphisme \(f\) d’un \(\C\) espace vectoriel ...
exo7 1635
La matrice suivante est-elle diagonalisable, triangularisable ? Effectuer explicitement la réduction. ...
exo7 1636
Soit ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1638
A \(n\) nombres complexes \((a_{1},...,a_{n})\in\C^{n}\) avec ...
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1640
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1642
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1643
Dans l’espace vectoriel \(\R_{3}[X]\), on considère l’application linéaire suivante : ...
exo7 1644
On considère un réel \(\alpha\) et l’application \(T_{\alpha}\) suivante : ...
exo7 1645
Soient \(\R^n\) euclidien, \(f \in \textbf{O}_n(\R)\). Montrer que ...
exo7 1646
Diagonaliser en base orthonormale les matrices suivantes : ...
exo7 1647
Montrer que si \(A\) est une matrice symétrique réelle, alors \(A + iI\) est inve ...
exo7 1648
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\C^3\) dont la matrice par rapport à la base can ...