Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Analyse asymptotique
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L’objectif de cette section est d’introduire les techniques asymptotiques fondamentales, dans les cadres continu et discret. Les fonctions et les suites y sont à valeurs réelles ou complexes, le cas réel jouant un rôle prépondérant. On donne la priorité à la pratique d’exercices plutôt qu’à la vérification de propriétés élémentaires relatives aux relations de comparaison.
Les développements limités sont les principaux outils du calcul asymptotique. Afin d’en disposer au plus tôt, on traitera en premier lieu les fonctions. Les étudiants doivent connaître les développements limités usuels et savoir mener à bien rapidement des calculs asymptotiques simples. En revanche, les situations dont la gestion manuelle ne relèverait que de la technicité seront traitées à l’aide d’outils logiciels.
Cette section permet de revenir sur la problématique de la vitesse de convergence introduite au premier semestre lors de l’étude des fonctions de variable réelle.
- a) Relations de comparaison : cas des fonctions 108
- b) Développements limités 137
- c) Relations de comparaison : cas des suites 65
- d) Problèmes d’analyse asymptotique 49
exo7 5433
Développement asymptotique à la précision \(x^2\) en \(0\) de ...
exo7 5434
Soient \(a>0\) et \(b>0\). Pour ...
exo7 5435
Soit \(u_0\in]0,\frac{\pi}{2}]\). Pour \(n\in\Nn\), on pose ...
exo7 5436
Soit \(u\) la suite définie par la donnée de son premier terme \(u_0>0\) et la ...
exo7 5437
Montrer que l’équation \(\tan x=x\) a une unique solution dans l’intervalle ...
exo7 5438
Montrer que l’équation \(x+\ln x=k\) admet, pour \(k\) réel donné, une unique sol ...
exo7 5439
Soit \(f(x)=1+x+x^2+x^3\sin\frac{1}{x^2}\) si \(x\neq0\) et ...
exo7 5440
Étude au voisinage de \(0\) de \(f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\Arcsin x}\) (existenc ...
exo7 5441
La fonction \(x\mapsto\Arccos x\) admet-elle en \(1\) (à gauche) un développement ...
exo7 5442
Développement limité à l’ordre \(n\) en \(0\) de ...
exo7 5443
Etude complète des fonctions suivantes
exo7 5447
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^2\) sur ...
exo7 5457
Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de ...
exo7 5458
Montrer que \(\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})\).
exo7 5459
Déterminer les limites quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
...
exo7 5474
Pour \(n\) entier naturel, on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\sin^nx\;dx\).
exo7 5568
Soit \(f(x) =\ln(1+x)\) pour \(x\) réel positif. Soient ...
exo7 5620
Soit \(A_n= \left( \begin{array}{cc} 1&-\frac{a}{n}\\ \frac{a}{n}&1 \end{array} \right)\) ( ...
exo7 567
Etudier la limite des suites suivantes : \(a_n=\cos{(\dfrac{2^n}{n!})}\); ...
exo7 5695
Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...
exo7 5707
Développement limité à l’ordre \(4\) de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\) q ...
exo7 5713
Etudier l’existence des intégrales suivantes
| 1) (** ... |
exo7 5714
Etudier l’existence des intégrales suivantes.
| 1) (* ... |
exo7 5720
1) (** I) Trouver un équivalent simple quand \(x\) tend vers ...
exo7 5736
Pour \(x>0\), on pose \(f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}\). Trouver un ...
exo7 5737
Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...
exo7 5745
Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :
exo7 5759
Soient \((a_n)_{n\in\Nn}\) et \((b_n)_{n\in\Nn}\) deux suites de réels strictemen ...
exo7 5760
Soit \((a_n)_{n\in\Nn}\) une suite à valeurs dans \(\{-1,1\}\). Pour ...
exo7 5761
Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on pose \(f(x) =\tan x\). ...
exo7 5769
Existence et calcul de \(\int_{0}^{1}\frac{t-1}{\ln t}t^x\;dt\).
exo7 578
Déterminer les limites de \(\dfrac{n^{\ln (n)}}{\ln^n (n)}\) et \(\sqrt[n]{n^2}\) ...
exo7 580
Étudier la suite définie par récurrence : \[u_{0}=a>0,u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}.}\]
exo7 581
Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...
exo7 582
Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 583
Soit \(\phi :\Nn\rightarrow \Nn\) bijective, telle que ...
exo7 5840
Inégalités de Hölder et de Minkowski. Soit ...
exo7 5852
Donner un développement à la précision \(\frac{1}{n^2}\) de la \(n\)-ième racine ...
exo7 5875
Soit \(\alpha\in\Cc\) tel que \(\text{Re}(\alpha) > 0\). Soit ...
exo7 593
Que penser-vous de l’énoncé suivant : si \((u_n) \sim (v_n)\) alors ...
exo7 594
Montrer que si \(\forall n \in \Nn\) \(u_n \neq 0\) et si ...
exo7 595
Comparer les suites suivantes : ...
exo7 596
Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites réelles de li ...
exo7 597
Donner un exemple de suites \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) tell ...
exo7 599
Montrer la réciproque du théorème de Césaro (i.e. \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n}=l\)) :
exo7 600
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par \(u_{0}=1\) et ...
exo7 601
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) la suite définie par \(u_{n+1}=u_{n}+u_{n}^{2}.\) L’é ...
exo7 602
Soient \(f\) et \(g\) deux formes linéaires sur un espace vectoriel ...
exo7 603
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 604
Montrer que \(\forall n\in \Nn^{*},\exists !x_{n}\in [n,n+1[\) solution de ...