Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
c) Matrices semblables et trace
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Matrices semblables. | Interprétation géométrique. Exemples de recherche d’une matrice simple semblable à une matrice donnée. |
Trace d’une matrice carrée. Linéarité de la trace, relation $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, invariance par similitude. | Notation $\operatorname{tr}(A)$. |
Trace d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie. Linéarité, relation $\operatorname{tr}(uv) = \operatorname{tr}(vu)$. | Notation $\operatorname{tr}(u)$. Trace d’un projecteur. |
exo7 5626
Soient ...
exo7 5627
Soient \(A\) et \(B\) deux éléments de ...
exo7 5652
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) l’équation \(X^2 = A\) où ...
exo7 5662
Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
exo7 5673
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(2\) telle que ...
exo7 5680
Soit ...
exo7 5682
Soit ...
exo7 5684
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Cc)\) l’équation ...
exo7 5685
Commutant de \(\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\).
exo7 5776
Soit \(\Phi\) l’application qui à deux matrices carrées réelles \(A\) et ...
exo7 5798
Soit \(A\) une matrice carrée réelle. Montrer que les matrices \({^t}AA\) et ...
exo7 5804
La matrice ...
exo7 5857
On munit \(E=\mathcal{M}_n(\Rr)\) de la norme \(N\) définie par ...
exo7 7365
Calculer les produits de matrices \(ADA^{-1}\) et \(BDB^{-1}\) dans ...
exo7 7411
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3\) l’application linéaire définie par ...
exo7 7508
Soit \(\R^2\) le plan affine euclidien muni du produit scalaire standard et de la base canonique.
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...
Inversiblité de matrice
VRAI-FAUX - Soit \(A\) une matrice carrée. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles so ...
Racine carrée d'une matrice
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}.\]
Réduction d'un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la ba ...
Trace de matrices
On rappelle que si \(A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq n}}\), alors la trace de ...
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) définie par
...